6.2. КРИТЕРИИ ВЕРНОСТИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ

При анализе помехоустойчивости применяют следующие критерии верности: среднего риска (байесов критерий), полной вероятности правильного приема (критерий идеального наблюдателя или критерий Котельникова), апостериорной вероятности правильного приема (критерий максимума апостериорной вероятности), минимаксный критерий, критерий Неймана — Пирсона, информационный критерий, критерий максимального правдоподобия и др. Рассмотрим сущность и особенности использования этих критериев и выберем подходящий для последующей оценки помехоустойчивости передачи дискретной информации.

6.2.1. Критерий среднего риска. Предположим, что передаются сигналов: Через обозначим принятый сигнал, где аддитивная помеха. Введем многомерную плотность распределения при условии, что передавался Покажем, как получают аналитическое выражение для критерия среднего риска

Чтобы иметь возможность принять решение о том, какой сигнал пришел на вход приемника, все пространство принимаемых сигналов необходимо определенным образом разбить на

подпространств Если принимаемый сигнал принимается решение, что передавался Если на самом деле передавался сигнал а сигнал попал в подпространство из-за действия помехи, то имеет место ошибка в принятии решения, а следовательно, и ошибка в передаче сообщений. Ошибки определяются свойствами передаваемых сигналов, характеристиками помех и выбором подпространств принятия решений.

Рис. 6.2. Иллюстрация особенностей принятия решений приемником

На рис. 6.2 проиллюстрированы основные особенности принятия решения приемным устройством. Рассмотрен простейший случай передачи двух противоположных сигналов с различными энергиями. Показано, как разбито пространство на два подпространства с границами Размеры этих подпространств различны из-за того, что энергии передаваемых сигналов различны. Для определенности рассмотрена передача сигнала при маломощной помехе и более мощной Когда помеха слабая, принятый сигнал попадает в область Приемное устройство принимает правильное решение, что передавался сигнал Когда помеха более мощная, принятый сигнал попадает в область Приемное устройство принимает ошибочное решение, что передавался сигнал Ошибка произошла из-за того, что под действием помехи передаваемый сигнал исказился и принятый сигнал попал в область Рис. 6.2 наглядно показывает также влияние выбора сигналов и границ на правильность принятия решения. Например, если бы вместо границы взять то и при слабой помехе произошла бы ошибка в принятии решения. Если вместо границы выбрать то и при мощной помехе ошибки в принятии решения не было бы. Аналогично, если бы мощность сигнала выбрать побольше, скажем, передавать и мощной помехе ошибки не произошло бы, так как

Условная вероятность правильного приема сигнала

где интеграл является многомерным. Условная вероятность ошибки

Введем понятие потерь которые возникают в случае принятия ошибочного решения, что был принят сигнал когда на самом

деле передавался . (Естественно принять ). Условный риск при передаче сигнала

Если - априорная вероятность передачи сигнала средний риск при передаче одного сигнала

С учетом (6.17) получим

Оптимальным по критерию среднего риска является тот способ передачи и приема сигналов, при котором минимизируется средний риск. Управляемыми переменными задач оптимизации являются характеристики сигналов, структура и параметры операторов преобразования сигналов в каналах, границы областей принятия решений. Исходными данными решения этих задач являются априорные вероятности потери характеристики помех или условные плотности вероятности

Критерий среднего риска является одним из наиболее общих. Частными случаями этого критерия являются критерии идеального наблюдателя, апостериорной вероятности правильного приема и др. Для использования критерия (6.20) требуется относительно большое количество таких исходных данных, которые на практике не всегда могут быть получены. Поэтому используют и другие критерии, лишенные этого недостатка.

6.2.2. Критерий идеального наблюдателя. Если в (6.20) принять (все ошибки приводят к одинаковым последствиям), то (6.20) переходит в формулу полной вероятности появления ошибки

Вероятность правильного приема

Оптимальным по критерию идеального наблюдателя является тот способ передачи сообщений, при котором вероятность появления ошибки является минимальной, а вероятность правильного приема — максимальной. Управляемые переменные в задачах оптимизации те же, что и в п. 6.2.1. Упрощение решения задач

достигается благодаря тому, что не учитывается различие в последствиях ошибок. Максимальное значение достигается тогда, когда решение о том, что принятый сигнал относится к области принимается при выполнении условия

Анализ условий (6.23) по существу равносилен построению алгоритма

Регистрируется тот сигнал для которого априорная плотность распределения максимальна. Оптимальный приемник, работающий по этому алгоритму, В. А. Котельников назвал идеальным.

6.2.3. Апостериорная вероятность правильного приема. Так как где апостериорная вероятность того, что передавался сигнал при условии, что был принят -безусловная плотность распределения принятого сигнала, то в соответствии с формулой Байеса

Если оптимальный приемник реализует алгоритм

и принимает в этом случае решение о приходе сигнала то говорят, что он обеспечивает максимум апостериорной вероятности правильного приема.

Сравнение алгоритмов (6.24) и (6.26) показывает, что они приводят к одному и тому же оптимальному решению. Следовательно, критерии идеального наблюдателя, максимума априорной плотности распределения и максимума апостериорной вероятности равносильны. Для решения задач оптимизации по этим критериям требуются одни и те же исходные данные.

6.2.4. Минимаксный критерий применяется в тех случаях, когда априорные вероятности появления сигналов в формуле (6.20) неизвестны. Задачу оптимизации решают для наихудшего распределения вероятностей и предполагают такое их распределение, которое доставляет максимум среднему риску. Используют критерий

Операция минимизации максимального риска, конечно, может выполняться путем выбора и других управляемых переменных. Минимаксный критерий не требует знания априорных вероятностей, но приводит к слишком осторожным решениям.

6.2.5. Критерий Неймана-Пирсона наибольшее распространен Ние получил в радиолокации для решения задач обнаружения сигналов на фоне помех (см. § 6.1). Рассмотрим простейшую двуальтернативную ситуацию. Анализируя сигнал приемник должен принять решение: есть сигнал, отраженный от объекта или нет его. Наличие сигнала обозначают символом 1, отсутствие — символам 0. Априорные вероятности неизвестны. Могут быть ошибки двух родов: «ложная тревога» — принятие решения о том, что сигнал есть, когда его фактически нет, и «пропуск цели» — принятие решения о том, что сигнала нет, когда он фактически есть. Последствия этих двух ошибок далеко не равноценны.

Оптимальным по критерию Неймана — Пирсона считают такой способ обработки принятого сигнала, при котором обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели при заданной вероятности ложной тревоги

Приемник реализует алгоритм (6.26), но с учетом ограничения на вероятность ложной тревоги. Для двуальтернативной ситуации алгоритм (6.26) существенно упрощается и принимает вид Использовав (6.25), получим еще две равнозначные записи этого алгоритма:

и

Отношение в левой части последнего неравенства называют отношением правдоподобия и обозначают через А. Так как отношение в правой части неравенства неизвестно, его значение выбирают из условия обеспечения заданной вероятности ложной тревоги.

Перейдем от переменной к А на основании равенств

Правые и левые части этих равенств выражают одну и ту же условную вероятность принять сигнал при условии, что отраженный сигнал есть (первое равенство), и при условии, что его нет (второе равенство). При переходе пространство преобразуется в числовую ось значений А, на которой значение представляет границу областей принятия соответствующих решений. Поэтому

Значение определяют из условия где заданная вероятность ложной тревоги.

Следовательно, оптимальный приемник Неймана — Пирсона реализует алгоритм

Если условие (6.28) выполняется, принимается оптимальное решение о том, что сигнал есть.

6.2.6. Информационный критерий. В роли информационного критерия рассматривают отношение количества принятой информации к количеству переданной

Оптимальным по этому критерию является такой способ передачи сообщений, при котором значение максимально. С учетом (5.37) можно заметить, что информационный критерий приводит к тем же результатам, что и критерии (6.22), (6.25), при решении многих задач.

6.2.7. Критерий максимального правдоподобия. Функцией правдоподобия называют плотность распределения . Наиболее правдоподобна та гипотеза, для которой

Оптимальным является такой способ передачи сообщений, при котором реализуется алгоритм (6.29). Этот алгоритм является частным случаем алгоритма (6.24) при

Критерий максимального правдоподобия получил наибольшее распространение потому, что он является относительно простым, не требует большого объема исходных данных, неплохо отражает большинство реальных условий передачи сообщений, аппаратурная реализация алгоритмов максимального правдоподобия относительно проста, результаты применения этих алгоритмов во многом совпадают с теми, которые получают с помощью многих других критериев. Поэтому в дальнейшем основным критерием верности служит критерий максимального правдоподобия.

Контрольные вопросы

(см. скан)