2.10. ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

При решении задач теории информации и передачи сигналов используют также векторное представление сигналов и помех, методы аналитической геометрии и векторной алгебры.

Рассмотрим особенности векторного представления сигналов и помех как элементов функциональных пространств.

Сигналы и помехи рассматривают как векторы — элементы векторных функциональных пространств, а преобразования сигналов

и помех — как отображения одних пространств в другие. Наряду с рассмотренными в приложении понятиями функционального анализа применяют и такие понятия, как метрика пространства, расстояние, норма вектора, проекция вектора и др. Наибольшее распространение получило использование пространств Евклида, Гильберта и Хемминга.

Если преобразования элементов в функциональном пространстве обладают свойством линейности (см. приложение), то пространство называют линейным. Линейное пространство называют метрическими если для каждых двух его элементов определено понятие расстояния которое должно удовлетворять следующим трем условиям (аксиомам):

где некоторый третий элемент пространства.

Расстояние может быть введено различными способами. Метрикой пространства называют правило, по которому введено расстояние. В рассматриваемых пространствах метрика определяется через операцию скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов в пространстве Евклида — это число:

где координаты векторов размерность пространства. При пространство Евклида является математическим прообразом реального трехмерного пространства. Пространство Евклида обозначают обычно

Скалярное произведение двух векторов в пространстве (берта (пространство всех непрерывных функций времени, задану на интервале это число

Пространство Гильберта обозначают обычно

Норму вектора X в пространстве определяют через скалярное произведение следующим образом:

Следовательно, норма вектора — это его длина. Аналогично определяют норму с вектора X в пространстве

Если сигнал имеет размерность напряжения, то норма — это эффективное значение напряжения, а квадрат нормы — это средняя мощность сигнала.

Если непрерывный сигнал с ограниченным спектром представлен в виде разложения Котельникова, то энергия сигнала (см. (2.7))

Так как средняя мощность сигнала то и

Из (2.97) нетрудно установить связь между нормами векторов в пространствах

Расстояние между векторами в пространстве определяют как норму их разности

В пространстве расстояние определяют аналогично

Использование расстояния позволяет определять проекции одного вектора на другой. Рассмотрим два процесса которые имеют одинаковую длительность и одинаковую граничную частоту Возьмем отсчетов и образуем вектора с координатами

Квадрат расстояния между этими векторами в соответствии с (2.99) равен

Угол между векторами определяют из выражения

поэтому

С учетом (2.97) и (2.99) запишем (2.101) в более удобном для анализа виде

где средняя мощность процессов

Анализ (2.102) показывает, что расстояние между сигналами определяется их базой, мощностью сигналов и значением Если случайные процессы, то играет роль коэффициента корреляции векторов

Если векторы не коррелированы, т. е. они ортогональны, и проекция одного вектора на другой равна нулю. Если то полностью коррелированы (совпадают по направлению). Если то также полностью коррелированы, но эти векторы противоположно направлены. Такие сигналы называют противоположными, расстояние между ними наибольшее. Расстояние между сигналами играет существенную роль при разделении сигналов в многоканальных системах, при выделении полезных сигналов и в других задачах.

Рассмотрим связь элементов пространств Если в пространстве с координатами векторов размерность пространства то евклидово пространство переходит в гильбертово. Напомним (см. что в этом случае ортогональное разложение Котельникова непрерывного сигнала в дискретную последовательность отсчетов дает нулевую средне-квадратичеекую погрешность. Отсчеты непрерывной функции пространства играют роль координат вектора в пространстве Ортогональное разложение Котельникова можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: вектора отсчетов и базисного вектора. Тогда это разложение устанавливает связь между элементами гильбертова и евклидова пространства.

При преобразованиях сигналов рассматривают пространства полезных сигналов (сообщений), пространства модулированных сигналов, пространства принятых сигналов, пространства демодулированных сигналов и др. Последовательные преобразования сигналов рассматривают как взаимные отображения одних пространств в другие, устанавливающие соответствия между элементами различных пространств. Например, если сообщение (видеосигнал) является непрерывным сигналом с ограниченным спектром, то он может быть представлен вектором в пгмерном пространстве, где длительность и граничная частота спектра. При модуляции сигнал преобразуется в модулированный сигнал следовательно, пространство сообщений преобразуется в пространство модулированных сигналов. Если длительность равна а граничная частота то размерность нового пространства . В общем случае и только при однополосной модуляции

Пространство Хемминга (пространство двоичных сигналов) относится к линейным дискретным пространствам, особенностью

которых является то, что координаты векторов могут принимать лишь дискретные значения. Понятия скалярного произведения и Нормы для таких пространств вводят подобно рассмотренным. Метрику и расстояние вводят на основе операции сложения по модулю одноименных разрядов (см. § 1.6, (1.18), (1.19)).

Контрольные вопросы

(см. скан)