7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

7.2.1. Оптимальная линейная фильтрация [13]. Покажем и сравним три основных подхода к оптимальной линейной фильтрации: определение частотных и импульсных характеристик оптимальных фильтров, восстановление сигнала как решение, дифференциал ото уравнения, коэффициенты которого задаются статистикой сигналов. Такие задачи относят к задачам линейной фильтрации случайных сигналов на фоне помех. Впервые они были корректно поставлены и решены в 40-х годах советским математиком А. Колмогоровым и американским ученым Винером. Результаты решения этих задач легли в основу статистической теории линейной фильтрации.

Предположим, что может рассматриваться как стационарный эргодический случайный процесс, корреляционная функция или спектральная плотность которого известна. Канал связи будем считать гауссовым с аддитивной помехой корреляционная функция или спектральная плотность которой известна. Сигнал и помеха некоррелированны. Принятый сигнал описывается соотношением (7.1). Необходимо найти такой оптимальный линейный фильтр, который дает оценку а в более общем случае оценку в среднеквадратическом смысле наиболее близкую к переданному сигналу.

Обозначим оператор линейной фильтрации через Предположим, что допустимо только запаздывание сигналов в процессе фильтрации, тогда с учетом эргодичности процессов среднеквадратическая погрешность примет вид

где время запаздывания сигнала. Преобразуя выражение (7.5) с использованием ранее сформулированных условий, получим

где — составляющая погрешности, обусловленная прохожденинием через фильтр сигнала; — составляющая погрешности, обусловленная прохождением помехи.

Для минимизации мощности и отсутствия искажений сигнала фазочастотная характеристика искомого фильтра должна быть линейной:

а амплитудно-частотная характеристика должна выбираться из условия Мощность отклика фильтра на входной шум от фазовых соотношений не зависит, спектр помех Суммарный спектр сигнала ошибки (7.6) на выходе фильтра

Оптимальную характеристику определим, дифференцируя (7.8) по и приравнивая производную нулю:

Подставив (7.9) в (7.8) получим, что

Минимальная среднеквадратическая погрешность

Выражение (7.11) дает минимально достижимую среднеквадратическую погрешность выделения оптимальным линейным фильтром сигнала из смеси с шумом. Никакой другой линейный фильтр не обеспечит лучшего в среднеквадратическом смысле отделения сигнала от помехи.

Коэффициент передачи оптимального линейного фильтра

Этот фильтр называют оптимальным фильтром Колмогорова — Винера. Проанализируем характеристики оптимального фильтра. Для удобства анализа представим выражение (7.12) в виде

где При оптимальный фильтр физически нереализуем, так как из-за симметрии его импульсной характеристики относительно вертикальной оси, проходящей через значение при Если выбрать где время задержки, то можно добиться, чтобы при Такой физически реализуемый фильтр будет близок к оптимальному.

Рассмотрим предельные характеристики оптимального фильтра в зависимости от отношения

В пределе это значит, что спектры сигнала и не перекрываются и отношение сигнал/шум велико. В этом случае

Оптимальный линейный фильтр является идеальным полосовым, его амплитудно-частотная характеристика

Отношение сигнал/шум на выходе .

2. В пределе это значит, что спектры сигнала и помехи полностью перекрываются, отношение сигнал/шум мало на всех частотах. В этом случае

Удовлетворительное восстановление сигнала с помощью линейной фильтрации невозможно, так как квадрат минимальной среднеквадратической погрешности фильтрации в пределе равен мощности полезного сигнала и

Это наиболее общий (промежуточный) случай, когда спектры сигнала и помехи в той или иной мере перекрываются, а отношение сигнал/шум варьирует в широких пределах. В этом случае

Оптимальный фильтр на частотах, где ослабляет влияние помехи потому, что модуль коэффициента передачи оказывается меньшим 0,5 и с ростом с еще более уменьшается. Он обеспечивает возможно большее подавление составляющих спектра помехи и в то же время возможно меньше ослабляет (искажает) составляющие спектра сигнала.

Анализ результатов линейной фильтрации показывает, что эффективность фильтрации тем больше, чем больше отношение ширины спектра сигнала к ширине спектра помехи и чем больше отношение сигнал/шум на входе фильтра. Следовательно, для повышения эффективности линейной фильтрации целесообразно применять широкополосные сигналы и большее отношение сигнал/шум.

Зная форму спектральной плотности помехи, можно применить в передатчике предыскажение сигнала — перераспределение мощности сигнала по частотам с помощью линейного фильтра. В результате этого преобразования сигнала его мощность распределяется по полосе частот обратно пропорционально спектральной плотности помехи и эффективность оптимальной линейной фильтрации повышается. При воспроизведении сигнала в приемнике для отсутствия частотных искажений необходимо, конечно, применять предварительный фильтр с характеристикой, обратной характеристике предыскажающего фильтра.

Импульсная характеристика оптимального фильтра находится из решения интегрального уравнения

которое называют уравнением Винера-Хопфа. Минимальная среднеквадратическая погрешность фильтрации

где — дисперсия

Для иллюстрации конкретных особенностей решения (7.17) рассмотрим простейший пример линейной фильтрации гауссовского стационарного процесса с корреляционной функцией при условии, что -гауссовский белый шум со спектральной плотностью Уравнение (7.17) принимает вид

Преобразуем его к виду, удобному для решения:

Умножив обе части этого уравнения на и затем дважды продифференцировав по вместо интегрального уравнения получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

где Общее решение (7.20) имеет вид

где коэффициенты находят из системы уравнений, которая получается путём подстановки решения (7.21) в уразнение (7.19) и приравнивания коэффициентов при

Для определения минимальной среднеквадратической погрешности оптимальную характеристику найденную из (7.21),

подставляют в (7.18). После выполнения громоздких вычислений для установившегося режима получают

В рассмотренном примере решение уравнения Винера-Хопфа выполняется относительно просто. Во многих случаях это решение наталкивается на серьезные трудности. Для аппаратурной реализации оптимальной характеристики фильтра необходимо воспроизводить зависимости что также вызывает трудности.

В 1961 г. интересные идеи были высказаны в работе Р. Е. Кальмана и Р. С. Бьюси [13]. Сущность одной из них заключается в следующем. Вместо определения частотных или импульсных характеристик линейных фильтров предложено оценивать непосредственно восстанавливаемый сигнал как решение дифференциального уравнения, коэффициенты которого определяются статистикой входных сигналов и оцениваемого. Очевидным преимуществом способа Кальмана — Бьюси является возможность относительно простого построения аналогового или цифрового вычислителя искомой оценки в зависимости от вида дифференциального уравнения. Оптимальные линейные фильтры выполняют как автоматические вычислители, с контурами обратной связи, которые включают интеграторы, цепи с переменными во времени коэффициентами передачи, сумматоры, нелинейные безынерционные устройства, объединенные таким образом, чтобы воспроизвести требуемое соотношение между входными и выходными переменными. Такие фильтры получили название фильтров Кальмана-Бьюси.

Другие преимущества этих фильтров: представление процессов во временной области, что позволяет рассматривать конечные интервалы времени и выполнять фильтрацию нестационарных процессов, какими являются модулированные сигналы; ориентация на использование ЭВМ; возможность применения их в более общих задачах нелинейной фильтрации. Существенным недостатком этого способа являются трудности получения в замкнутой форме оценок, аналогичных (7.11) и (7.22), для среднеквадратических погрешностей фильтрации, иначе говоря, трудности оценки эффективности фильтрации.

7.2.2. Нелинейная фильтрация непрерывных сигналов. Основными недостатками линейной теории фильтрации являются трудности решения интегральных и дифференциальных уравнений, определяющих импульсные характеристики фильтров и восстанавливаемых сигналов, требования линейности преобразований и нормальности распределений сигналов и помех и трудности аппаратурной реализации фильтров для реальных видов модуляции, когда необходимо выделять нестационарные сигналы. Этих недостатков лишена теория нелинейной фильтрации, которая построена в основном на теории условных марковских процессов, использующей нелинейные дифференциальные уравнения [18].

Точное аналитическое решение дифференциальных уравнений нелинейной фильтрации может быть получено крайне редко, их основная ценность в том, что они позволяют непосредственно синтезировать оптимальные структурные схемы приемников, а когда распределения сигналов и помех близки к нормальным, то и оценить эффективность фильтрации.

При нелинейной фильтрации приемники являются автоматическими нелинейными устройствами, следящими за информационными параметрами сигналов, по существу, аналоговыми или цифровыми вычислителями решения нелинейного дифференциального уравнения фильтрации. Задачи нелинейной фильтрации так же, как и задачи линейной фильтрации нестационарных процессов, являются предметом современных исследований.

7.2.3. Цифровая фильтрация — это такая разновидность нелинейной фильтрации, в которой роль вычислителей решения нелинейного дифференциального уравнения фильтрации выполняют ЦВМ. Методы цифровой фильтрации образуют теорию цифровой обработки непрерывных сигналов. Цифровые фильтры обладают рядом преимуществ. Главное из них — возможность получения таких частотных характеристик, реализация которых с помощью обычных активных или пассивных фильтров очень сложна или просто невозможна. Другим достоинством является то, что частотные характеристики цифрового фильтра определяет всего лишь один параметр — шаг дискретизации непрерывного сигнала. Изменяя этот шаг, можно в широких пределах перестраивать фильтр. Применяя кварцевые генераторы тактовой частоты, можно обеспечить такую высокую стабильность характеристик цифрового фильтра, которая недостижима для аналоговых фильтров.

Основная трудность широкого практического применения цифровых фильтров заключается в необходимости создания быстродействующих аналого-цифровых и цифроаналоговых преобразователей, а также компактных недорогих ЦВМ. Развитие микроэлектроники и вычислительной техники показывает, что эти трудности будут преодолены.

Контрольные вопросы

(см. скан)