2.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ

Узкополосные и аналитические сигналы широко используют как модели реальных сигналов и помех. Процесс называют узкополосным, если

где ширина спектра процесса а средняя частота Реализации узкополосных процессов можно наблюдать на выходе схем, работающих на высоких и промежуточных частотах.

Рис. 2.5. Реализация узкополосного процесса

На экране осциллографа реализация узкополосного процесса имеет вид синусоиды с медленно меняющимися амплитудой и частотой (рис. 2.5).

Используют две основные равноценные формы аналитического представления узкополосных процессов: в виде амплитудно-частотно-модулированного колебания

где огибающая процесса, -фаза, и в виде суммы двух амплитудно-модулированных колебаний

где

Нетрудно заметить, что выбор формы связан с выбором системы координат. В полярной системе координат применяют представление (2.60), в декартовой - (2.61). Соотношения (2.62), (2.63) устанавливают связь между характеристиками узкополосного процесса в полярной и декартовой системе координат.

Представление (2.61) можно рассматривать и как частный случай ортогонального разложения (используется всего лишь одна гармоника). В то же время введение зависимости коэффициентов разложения от времени позволяет получить ряд полезных для описания модулированных сигналов свойств. Составляющую называют синфазной, квадратурной, говорят, что находятся в квадратуре. Функции являются медленно меняющимися функциями по отношению к гармоническому колебанию с частотой

Функции можно рассматривать и как ортогональные составляющие комплексной огибающей

а в более общем случае узкополосный процесс -как вещественную часть комплексной функции

где

Комплексная форма (2.65) записи узкополосного процесса является обобщением символической записи синусоидальных колебаний, в которой рассматривают не как постояннее величины, а как функции времени,

Если составляют пару преобразований Гильберта

то сигнал называют аналитическим.

Если сигнал имеет непрерывный спектр

то спектр сопряженной функции

где знаковая функция

Следовательно, прямое преобразование Гильберта можно рассматривать как результат прохождения через линейный четырехполюсник сдвигающий фазу всех составляющих спектра на угол Комплексная частотная и импульсная характеристики такого четырехполюсника:

Спектр аналитического сигнала

Следовательно, спектр аналитического сигнала является односторонним и существует только в области положительных частот. Это удобное свойство.

Аналитические сигналы называют ортогональными в усиленном смысле, если справедливо условие

где звездочка обозначает величину, комплексно-сопряженную

Условие (2.72) равносильно совместному выполнению двух условий

Из соотношения (2.69) следует, что спектры и корреляционные функции случайных процессов одинаковы. Взаимный

кнергетический спектр а взаимнокорреляционная функция

Покажем, как определяется корреляционная функция узкопосного процесса.

Рис. 2.6. Корреляционная функция узкополосного процесса

Рассмотрим процесс, спектральная плотность которого равномерна на интервале и для всех частот полосы равна Использовав (2.22), получим

где дисперсия процесса; нормированная корреляционная функция огибающей; корреляционная функция огибающей.

На рис. 2.6 показан график корреляционной функции (2.74). Анализ (2.74) и рис. 2.6 позволяет сделать следующий общий вывод: для определения корреляционной функции узкополосного процесса необходимо найти корреляционную функцию огибающей и умножить ее на

Контрольные вопросы

(см. скан)