2.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ

Распределения огибающей и фазы узкополосных сигналов получают как результат функционального преобразования системы случайных величин в систему случайных величии в соответствии с соотношениями (2.62), (2.63). Алгоритм решения этой задачи следующий. Определяют совместную плотность распределения случайных величин Находят якобиан преобразования от системы координат к системе По плотности распределения якобиану преобразования и соотношениям (2.63) получают совместную плотность распределения Интегрированием этой плотности по «лишней» переменной находят одномерные плотности распределения огибающей и фазы

Рис. 2.7. Распределение Релея

Найдем по этому алгоритму законы распределения огибающей и фазы гауссовского стационарного узкополосного процесса. Предположим, что

Для гауссовского стационарного процесса квадратурные составляющие также будут нормальными стационарными процессами с параметрами

где — дисперсия процесса; взаимная корреляционная функция квадратурных составляющих.

Совместная плотность распределения в силу их некоррелированности равна произведению одномерных плотностей:

Якобиан преобразования

Совместную плотность получим как произведение якобиана преобразования на совместную плотность распределения в которой старые переменные заменим на новые используя (2.63). Тогда

Проинтегрировав по фазе, получим одномерную плотность распределения огибающей

Аналогично получим плотность распределения фазы

так как

На рис. 2.7 показан график распределения (2.78), которое известно как распределение Релея, аргументом является безразмерная переменная — нормированная по среднеквадратическому отклонению огибающая Распределение огибающей существует на интервале максимальное значение плотность распределения имеет при

Математическое ожидание огибающей

дисперсия

Анализ (2,79) показывает, что распределение фазы является симметричным И равномерным. Поэтому математическое ожидание фазы

дисперсия фазы

Контрольные вопросы

(см. скан)