6.3. ОПТИМАЛЬНЫЙ КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Для оптимального когерентного приема необходимо выполнение следующих условий: передаваемые сигналы полностью известны и могут быть точно воспроизведены в приемном устройстве;

канал связи гауссов с постоянными параметрами, искажения сигналов в канале отсутствуют; спектральная плотность аддитивной помехи известна; синхронизация принимаемых и опорных сигналов, является идеальной.

Постановка задачи оптимального когерентного приема дискретных сигналов следующая. Передаваемые сигналы поступают на вход гауссова канала с флуктуационной помехой принимаемый сигнал

Требуется построить оптимальный алгоритм различения сигналов приемником и оценить потенциальную помехоустойчивость оптимального когерентного приема.

6.3.1. Оптимальный алгоритм когерентного приема. Для построения оптимального алгоритма используем критерий максимального правдоподобия (6.29). Так как передаваемые детерминированные сигналы в месте приема известны, то функция правдоподобия как плотность распределения принятого сигнала полностью определяется -мерной плотностью распределения помехи Поэтому

Воспользуемся (2.43), тогда

где спектральная плотность помехи; полоса, пропускания приемника. Выразим функцию правдоподобия (6.32) через разность принятого и передаваемого сигналов.

Значения можно рассматривать как отсчеты помехи в орто тональном разложении Котельникова. В соответствии с равенством: Парсеваля (2.14) энергия помехи, выделенная за время действия сигнала,

Отсюда следует, что

Поскольку то

Следовательно, алгоритм оптимального когерентного приема (оптимального различения) сигналов

Очевидно, что операция (6.36) имеет место тогда, когда обеспечивается

Алгоритм (6.37) является оптимальным алгоритмом работы приемника Котельникова. Этот приемник обеспечивает минимальную полную вероятность ошибки, поэтому он является оптимальным и по критерию идеального наблюдателя. Так как помехоустойчивость такого приемника является максимальной (предельно достижимой), то говорят, что он обладает «потенциальной помехоустойчивостью». Все реальные приемники имеют помехоустойчивость ниже потенциальной.

Анализируя алгоритм (6.37), можно заметить, что идеальный приемник Котельникова определяет в гильбертовом пространстве сигналов расстояние между принятым сигналом и всеми сигналами из ансамбля передаваемых и принимает решение, что передавался тот сигнал, к которому принятый ближе всего. В основе различных структурных схем оптимального приемника обычно лежит рассмотренная в § 6.1 схема линейной обработки сигналов. Отличие схем состоит в том, что используется различная аппаратурная реализация схем линейной обработки.

6.3.2. Оптимальный корреляционный приемник. Рассмотрим построение структурной схемы оптимального корреляционного приемника двоичных сигналов, в котором вычисляют взаимокорреляционные функции принятых и передаваемых сигналов. Для двоичных сигналов алгоритм (6.37) приводит к неравенству

Если (6.38) справедливо, принимается оптимальное решение о том, что передавался сигнал если нет, то сигнал

Преобразуем неравенство (6.38) к виду, более удобному для аппаратурной реализации без применения сумматоров и

квадраторов. После возведения разностей в квадрат и сокращения подобных членов получим

В левой части неравенства (6.39) взаимные энергии (6.40) принятого и опорных сигналов пропорциональны взаимокорреляционным функциям

принятого сигнала с передаваемыми. Правая часть неравенства равна половине разности энергий передаваемых сигналов Если энергии сигналов одинаковы, то неравенство 6.39) принимает простой вид

Следовательно, при оптимальном различении сигналов решающая схема выделяет сигнал более коррелированный с принятым. Функционалы (6.40) полностью совпадают с функционалом (6.1).

Рис. 6.3. Оптимальная структурная схема корреляционного приемника

Рис. 6.4. Графики сигнала и характеристики согласованного фильтра

Поэтому схема корреляционного приемника включает две схемы линейной обработки сигналов, нагрузкой которых является решающая схема, реализующая условие (6.41). Структурная схема оптимального корреляционного приемника показана на рис. 6.3.

6.3.3. Оптимальный приемник на согласованных фильтрах. Недостатком схемы корреляционного приемника является необходимость использования опорных сигналов. Этот недостаток можно

устранить, если при построении структурной схемы приемника использовать согласованные фильтры.

Фильтр, импульсная характеристика которого

называют согласованным с сигналом Импульсной реакцией его является сигнал в обратной временной последовательности (начиная с момента времени и кончая График (рис. 6.4) получается как зеркальное отражение графика относительно вертикали, которая делит интервал пополам (штрих-пунктирная прямая на рис. 6.4). При так как отклик фильтра не может предшествовать воздействию. При может иметь произвольное значение, так как после взятия отсчета в момент времени выполняется сброс накопленного на фильтре значения сигнала, схема обработки возвращается в исходное состояние и готова к следующему циклу работы.

Рис. 6.5. Оптимальный приемник на согласованном фильтре

При воздействии сигнала на вход согласованного фильтра значение сигнала на выходе фильтра в момент отсчета равно

Сигналы (6.43) полностью совпадают с сигналами (6.40), что подтверждает возможность использования согласованных фильтров в схеме оптимального приемника. На первый взгляд кажется, что схема оптимального приемника двоичных сигналов должна включать два согласованных фильтра. Однако схему можно упростить, если неравенство (6.41) представить в виде

и выбрать согласованный фильтр с характеристикой

На рис. 6.5 показана структурная схема оптимального приемника двоичных сигналов в одном согласованном фильтре. Устройство синхронизации обеспечивает запуск схемы в момент прихода сигнала и отсчет значения сигнала на выходе фильтра в момент Линейная обработка сигналов согласованным фильтром существенно упрощает схему приемника. Задача синтеза оптимального приемника сводится к задаче синтеза оптимального линейного фильтра с постоянными параметрами. Для ее решения

можно применить разложение (6.45) по ортогональным полиномам И методы теории аппроксимации функций. Согласованный фильтр для сигналов произвольной формы можно построить и на основе неискажающей длинной линии.

6.3.4. Частотная и фазовая характеристики согласованного фильтра. Частотная характеристика

Определим связь амплитудно-частотной характеристики фильтра со спектральной плотностью сигнала Введем промежуточную переменную тогда

где функция, комплексно-сопряженная со спектром сигнала

Сравнение (6.47) и (6.48) показывает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра

а фазочастотная

Выходной сигнал фильтра при действии на его входе сигнала

В соответствии с теоремой Релея при выходной сигнал

При все спектральные составляющие выходного сигнала совпадают по фазе и в сумме образуют максимальное значение рйнпое энергии входного сигнала. Во все другие моменты времени фягш спектральных составляющих различны

Эффективность согласованного фильтра как схемы линейной обработки сигналов была рассмотрена в § 6.1. Согласованная фильтрация может выполняться как для видеосигналов, так и для радиосигналов. Так как огибающая радиосигналов является «медленной» функцией по сравнению с высокочастотным колебанием, то допустимая неточность взятия отсчета для видеосигналов может быть больше. Если берутся отсчеты огибающей радиосигнала на выходе согласованного фильтра, то согласование фильтра с входным сигналом может быть выполнено с точностью до фазы. Это во многом упрощает схему приемника.

Для некоторых сигналов согласованные фильтры оказываются сложными в настройке и регулировке. Поэтому находят применение квазиоптимальные фильтры, которые согласованы с сигналами только по полосе пропускания. Например, для радиоимпульса прямоугольной формы длительностью оптимальная полоса фильтра с прямоугольной частотной характеристикой Отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра на 15—20% меньше по сравнению с согласованным фильтром [2, 9].

Если помеха не является белым шумом, то для получения минимальной мощности помехи на выходе согласованного фильтра значения коэффициента передачи фильтра должны быть прямо пропорциональны спектральной плотности входного сигнала и обратно пропорциональны спектральной плотности помехи. В этом случае

Множитель можно рассматривать как коэффициент передачи дополнительного линейного фильтра, который включен на входе согласованного и «выравнивает» распределение спектра помехи.

6.3.5. Потенциальная помехоустойчивость оптимального когерентного приемника. Для определения потенциальной помехоустойчивости необходимо определить эквивалентное отношение сигнал/шум (6.12) для различения сигналов и использовать соотношение (4.31). Ошибка в различении двоичных сигналов происходит, когда

а неравенство (6.39) не выполняется из-за действия помехи. Подставим (6.54) в (6.39) и учтем, что неравенство не выполняется. После алгебраических преобразований получим

Вероятность выполнения неравенства (6.55) является, очевидно, минимальной вероятностью появления ошибки.

Левая часть неравенства представляет помеху на выходе согласованного фильтра, а правая — полезный сигнал, энергия

которого равна половине энергии разности сигналов. Используя (6.4), (6.9) и (6.15), получаем отношение сигнал/шум на выходефильтра

С учетом (4.31) вероятность появления ошибки

где функция Крампа (2.88).

Из (6.57) следует, что минимальная вероятность ошибки при оптимальном когерентном приеме определяется энергией разности сигналов и спектральной плотностью помехи.

С учетом (2.100) представим отношение сигнал/шум в виде

где - расстояние между сигналами в гильбертовом пространстве. Анализ (6.58) показывает, что минимальная вероятность ошибки падает с ростом расстояния между сигналами и длительности сигналов и растет, если увеличивается спектральная плотность помехи. Следовательно, потенциальная помехоустойчивость зависит не только от энергии сигналов, но и от их взаимной энергии (2.11).

6.3.6. Потенциальная помехоустойчивость систем с фазовой телеграфией (ФТ), частотной телеграфной (ЧТ) и с амплитудной манипуляцией (АМн). Рассмотрим, как влияет выбор разности энергии сигналов на потенциальную помехоустойчивость различных систем. Выразим через энергию отдельных сигналов и Нормированную взаимокорреляционную функцию сигналов, тогда

где

Для систем с активной паузой, к которым относятся системы с ФТ и ЧТ, сигналы имеют одинаковую энергию поэтому

Если сигналы одинаковы по форме, но противоположны, например

Такие сигналы используют в системе с ФТ, когда разность фаз сигналов равна . Если сигналы ортогональны, что соответствует ЧТ, то и

В системах с пассивной паузой, к которым относится система с амплитудной манипуляцией, поэтому а

Условно можно полагать, что для таких систем

Сравнение потенциальной помехоустойчивости различных систем показывает, что наибольшую помехоустойчивость

обеспечивает ФТ. При одинаковой минимальной вероятности ошибки энергия сигналов ФТ может быть в четыре раза меньше энергии АМн сигналов и в два раза меньше энергии сигналов ЧТ.

6.3.7. Потенциальная помехоустойчивости систем с относительной фазовой модуляцией (ОФМ). Существенным недостатком систем фазовой телеграфии является возможность режима «обратной работы» - когда из-за случайного изменения фазы («случайного перескока фазы») опорного генератора даже при отсутствии помех появляются ошибки в различении сигналов. Это явление долгое время тормозило широкое практическое использование ФТ. В 1954 году Н. Т. Петрович предложил эффективный метод борьбы с этим явлением путем использования не абсолютной, а относительной фазовой модуляции (ОФМ), и системы фазовой модуляции и телеграфии начало широко внедряться.

Обычно на вход манипулятора ОФМ подают «двоичную» последовательность видеоимпульсов, а с выхода снимают высокочастотное (ВЧ) колебание со скачкообразными изменениями фазы в моменты времени, соответствующие границам видеоимпульсов. При подаче на вход манипулятора видеоимпульса с единичной амплитудой на выходе происходит скачок фазы несущего колебания, а при подаче видеоимпульса с нулевой амплитудой фаза ВЧ колебания не изменяется. В демодуляторе с ОФМ фаза принимаемого радиоимпульса отсчитывается не относительно фазы опорного колебания, а сравнивается с фазой предыдущего радиоимпульса. Таким образом, ОФМ отличается специальной перекодировкой символов в манипуляторе.

Перекодировка символов исходной двоичной последовательности сводится к тому, что при передаче символа «1» происходит изменение передаваемого сигнала, а при передаче символа сигнал не изменяется. Например, если исходная последовательность то последовательность, полученная при перекодировке — 1001; первый символ исходной последовательности является опорным. Для перекодировки необходима задержка выходной последовательности на время длительности одного сигнала. На выходе приемника ОФМ символ «1» регистрируется при совпадении полярностей двух соседних посылок, а символ «0» — если полярности противоположны.

При ОФМ ошибки при перескоке фазы опорного сигнала возникают только в одном символе. Последующие символы регистрируются правильно и режим «обратной работы» отсутствует. Ошибки при различении сигналов ОФМ возможны в результате появления одного из двух несовместных событий: знак данного элемента принят ошибочно, а знак предыдущего правильно; знак данного элемента принят верно, а предыдущего — ошибочно. Вероятность каждого из этих событий определяется как а вероятность ошибки при ОФМ как вероятность появления того или другого события, поэтому

Следовательно, режим обратной работы устраняется путем увеличения (примерно вдвое) вероятности появления ошибки. Таким образом, при ОФМ вероятность ошибки

6.3.8. Потенциальная помехоустойчивость многопозиционных систем. При различении сигналов для получения вероятности ошибки необходимо анализировать условия совместного выполнения неравенства типа (6.38). Для симметричного канала с аддитивной помехой вероятность совместного выполнения этих неравенств

где вероятность ошибки в системе с активной паузой и противоположными сигналами. Так как используя формулу бинома Ньютона, получим

Из формулы (6.67) следует, что при одинаковых энергиях сигналов в системах с разными вероятность ошибки растет линейно с ростом Однако отсюда не следует, что -ичные системы обладают меньшей потенциальной помехоустойчивостью, чем двоичные. Необходимо учесть, что один -ичный равновероятный символ несет в раз большее количество информации. Поэтому сравнение -ичных и двоичных систем необходимо производить при одинаковой скорости передачи информации и при одинаковых энергиях сигналов.

Энергия сигналов -ичной системы где энергия двоичных сигналов. Вероятность ошибки при различении сигналов приближенно определяется соотношением

Анализ выражения для вероятности ошибки удобнее производить, используя асимптотическую формулу для функции Крампа [1], справедливую при больших значениях х

Тогда

Из формулы (6.70) следует, что при Это соответствует выводу, следующему из основной теоремы Шеннона о существовании оптимального кодирования для канала с шумом. Из (6.68) как частный случай при следует (6.57).

Сравнение (6.68), (6.70) и (6.57) показывает, что -ичные системы имеют более высокую потенциальную помехоустойчивость, однако техническая реализация многопозиционного кодирования сложнее. Поэтому многопозиционные сигналы еще не нашли широкого практического применения, а для повышения помехоустойчивости бинарных систем используют корректирующие коды.

Оптимальный когерентный прием сигналов имеет следующие особенности: при равновероятных сигналах работа оптимального приемника не зависит от интенсивности помех — приемник переходит в инвариантный режим; при флуктуационных помехах не требуется фильтрация входных сигналов; помехоустойчивость оптимального приемника не зависит от ширины полосы пропускания.

Контрольные вопросы

(см. скан)