2.5. КАНОНИЧЕСКИЕ И НЕКАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Каноническим разложением случайного процесса называют ортогональное разложение типа

где — система ортогональных или ортонормированных функций; интервал наблюдения или длительность процесса; верхняя частота спектра процесса (если то и система некоррелированных случайных величин.

Для стационарных случайных процессов наиболее удобны разложения по гармоническим функциям

где дисперсия гармоники; Корреляционная функция разложения (2.45)

где Так как дисперсия стационарного случайного процесса равна его корреляционной функции в начале координат, то

Из (2.47) следует, что так же, как и для детерминированного сигнала (см. (2.7)), мощность случайного сигнала равна сумме мощностей гармонических составляющих разложения (2.45). Формула (2.47) показывает, как мощность процесса распределена по гармоникам.

Покажем, как определяют дисперсию по корреляционной функции Умножив почленно равенство (2.46) на и проинтегрировав результат по в пределах от 0 до получим

При интеграл в правой части равен нулю, а при равен норме базисных функций. Поэтому

С увеличением длительности процесса число отсчетов также растет, спектр частот процесса становится непрерывным. Случайные величины в (2.45) необходимо заменить бесконечно малыми случайными величинами а сумму заменить интегралом по Тогда

Обозначив бесконечно малую дисперсию случайных величин а через после необходимых преобразований получим уже известное соотношение Хинчина — Винера (2.22) для корреляционной функции процесса. Путем предельного перехода при аналогично получают соотношение Хинчина — Винера (2.22) для спектральной плотности.

Нестационарные случайные процессы также можно представлять в виде канонических разложений по гармоническим функциям. Однако коэффициенты таких разложений получаются уже коррелированными между собой, что неудобно для решения прикладных задач. Поэтому для ортогональных разложений нестационарных случайных процессов отыскивают другие базисные системы, которые приводят к некоррелированным коэффициентам. Примером такого разложения служит разложение Лоэва — Карунена.

Рассмотрим физический смысл интервала дискретизации в каноническом разложении Котельникова для случайных процессов. Для этого найдем связь интервала дискретизации и интервала корреляции. Ширина спектра непрерывного случайного процесса с ограниченным спектром Так как то

Ширину спектра процесса выразим через его дисперсию и максимальное значение спектральной плотности из формулы (2.24), тогда

Дисперсию процесса определим через интервал корреляции и значение спектральной плотности в начале координат из соотношения

тогда

Подставив значение дисперсии из (2.51) в (2.50), найдем

Соотношение (2.52) играет важную роль, оно устанавливает связь интервала дискретизации случайного процесса с интервалом корреляции и значениями спектральной плотности Так

то и отношение

Следовательно, если интервал дискретизации случайного сигнала выбирать в соответствии с теоремой Котельникова, то отсчеты убудут некоррелированными.

Существенными недостатками канонических разложений случайных процессов являются большое число случайных переменных низкая эффективность при анализе нелинейных систем. Поэтому разрабатывают и неканонические представления случайных процессов, например в виде нелинейной функции нескольких случайных аргументов.

Удобное неканоническое представление предложил В. И. Чернецкий. Это представление позволяет абсолютно точно в рамках корреляционной теории описывать стационарные случайные процессы в виде детерминированной функции всего лишь трех случайных аргументов. Рассмотрим основные особенности этого представления.

Если в разложении (2.45) допустить, что частота также является непрерывной случайной величиной, то любой случайный процесс как доказано в теореме Чернецкого, можно представить в виде

где — независимые случайные величины, которые определяют по характеристикам процесса. В (2.55) сокращение числа случайных переменных и числа гармоник произведено в результате перехода к нелинейному представлению.

Если в представлении закон распределения

процесс является стационарным, то с помощью (2.55) удобно описывать случайные процессы, приводимые к стационарным путем центрирования — вычитания из процесса его математического ожидания. Спектральная плотность процесса

следовательно, плотность распределения частоты можно найти и по спектральной плотности, если известна дисперсия процесса.

Если обозначить и применить формулу косинуса разности двух углов, то стационарный процесс

можно представить в виде гармонического колебания, которое имеет случайные амплитуду, частоту и фазу,

где Представление (2.58) для стационарных случайных процессов является удобным для решения многих инженерных задач. Например, используя (2.58), нетрудно обобщить результаты анализа всех видов модуляции детерминированной гармонической несущей на случайные стационарные несущие.

Контрольные вопросы

(см. скан)