4.3. АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ

Для анализа дискретных каналов разрабатывают и применяют специальные математические модели и методы. Рассмотрим основные из них и на примере двоичного канала покажем, как

определяют характеристики дискретных «каналов: условные вероятности появления ошибок, полные вероятности появления ошибки и правильного приема, вероятности появления различных символов на выходе дискретного канала и др.

4.3.1. Модели дискретных каналов. Дискретный канал образуют устройства тракта «вход кодера - выход декодера» (рис. 1.1). На вход канала поступают символы а с выхода — Математическая модель дискретного канала определена, если известны следующие характеристики: алфавит и априорные вероятности появления символов сообщений объем алфавита); скорость передачи символов алфавит символов копии сообщений, объем алфавита; априорная условная вероятность появления символа при условии, что был передан

Как и для дискретно-непрерывного канала, первые две характеристики определяются свойствами источника сообщений и полосой пропускания непрерывного канала. Объем выходного алфавита определяется способам построения системы передачи информации. Условная вероятность определяется в основном свойствами непрерывного канала и его характеристиками. Если в системе используют канал обратной связи и «стирание» символов, то Стирание символов вводят тогда, (когда из-за искажений и помех не ясно, какой символ передавался. Решающее устройство декодера выдает символ стирания 0, если символ настолько отличается от символов источника сообщений, что его нельзя с большой вероятностью отождествить ни с одним из передаваемых. Стирание символов позволяет уменьшить вероятность появления ошибки, но приводит к уменьшению и вероятности правильного приема. Определены условия, при которых стирание символов целесообразно. Обычно вводят один символ стирания.

Результатом анализа дискретного канала является определение апостериорной условной вероятности того, что при полученном символе передавался символ . С помощью этих апостериорных вероятностей и априорных вероятностей рассчитывают полную вероятность появления ошибки в канале, полную вероятность правильного приема, вероятность появления символов на выходе канала, информационные характеристики дискретного канала (скорость передачи информации, пропускную способность, количество, принятой информации и др. (см. § 5.2)).

Апостериорная вероятность рассчитывается по формуле Байеса

Если решающая схема декодера реализует алгоритм определения максимума апостериорной вероятности:

то на выходе декодера появляется символ апостериорная вероятность появления которого больше всех остальных.

Характер условных вероятностей полностью определяет свойства дискретного канала. Если для любых сочетаний эта вероятность не зависит от момента времени взятия отсчета, т. е.

то канал называют однородным. Если условие (4.21) не выполняется, канал является неоднородным. Если справедливо условие

то канал называют каналом без памяти Если условие (4.22) не выполняется, канал обладает памятью на символов. Выполнение условий (4.21) и (4.22) зависит от того, на каком непрерывном канале построен дискретный канал. Например, если непрерывный канал является гауссовым, то условия (4.21), (4.22) выполняются и построенный на нем дискретный канал является однородным и без памяти.

Реальные дискретные каналы являются неоднородными и с памятью. Это обусловлено следующими причинами: искажением сигналов и влиянием помех в непрерывном канале (см. § 4.1), задержкой во времени выходной последовательности сигналов по отношению к входной, нарушением тактовой синхронизации передаваемых и принимаемых импульсов (см. § 6.6), ошибками решающих схем (см. п. 4.3.3). Однако модель дискретного однородного канала без памяти как модель первого приближения нашла широкое применение. Она позволяет упростить методы анализа и получение исходных данных.

4.3.2. Методы определения характеристик дискретных каналов. Для математического описания дискретных однородных каналов без памяти необходимо использовать матрицы типа

элементами которых являются условные вероятности (см. п. 4.3.1). Совместно с априорными вероятностями эти вероятности перехода символа в полностью определяют вероятностные характеристики дискретных каналов. Математическим аппаратом, который позволяет исследовать дискретные каналы, является теория марковских цепей [15]. Она предназначена для описания случайных дискретных последовательностей. Рассмотрим те элементы этой теории, которые используются в дальнейшем.

Если выполнить дискретизацию случайного процесса с интервалом (см. § 2.2), то значения случайного процесса взятые в моменты времени образуют случайную

последовательность Если случайная последовательность получена дискретизацией стационарного и эргодического процесса, она также обладает этими свойствами. Числовые характеристики такой последовательности получают использованием операций усреднения по множеству и по времени (см. § 2.3). Оценка математического ожидания последовательности

где при усреднении по множеству количество реализаций, измеренных в один момент времени значение случайной величины при усреднении по времени количество моментов времени, рассматриваемых для одной реализации.

Если все значения стационарной последовательности непрерывны и независимы, то полной характеристикой является одномерная плотность распределения Плотности распределения большей размерности определяют как произведение одномерных плотностей. Если являются дискретными независимыми символами, что имеет место при определенных условиях передачи дискретных сообщений, полной характеристикой является распределение вероятностей появления символа Так как образуют полную группу событий, то

Равенство (4.25) называют условием нормировки.

Если символы последовательности взаимозависимы (коррели-рованы), помимо вероятностей появления отдельных символов, необходимо задавать условные вероятности появления в последовательности символа при условии, что перед ним появилась группа символов Последовательности, в которых существуют статистические связи между символами, называют цепями Маркова или марковскими цепями. Если статистическая связь существует только между двумя символами то марковскую цепь называют простой, ее поведение полностью описывается матрицей (4.23) при заданных начальных вероятностях Для эргодичеекой марковской цепи вероятности появления символов в установившемся режиме находят из системы алгебраических уравнений

с использованием условия нормировки (4.25).

Для математического описания дискретных однородных каналов. без памяти используют методы теории марковских простых однородных цепей.

4.3.3. Двоичный канал. Используя результаты п. 4.3.1, 4.3.2, найдем вероятностные характеристики двоичного дискретного однородного канала без памяти. В этом случае Для простоты записи обозначим Вероятности это условные вероятности правильного приема символов это условные вероятности появления ошибок. Граф преобразования символов при передаче по двоичному каналу показан на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Граф преобразования символов в дискретном двоичном канале

Рис. 4.4. Реализации сигналов

Рассмотрим работу решающей схемы Реализации сигналов на выходе первого модулятора и на входе демодулятора (см. рис. 1.1) показаны на рис. 4.4. Положительные импульсы соответствуют передаче символа отрицательные — передаче Можно заметить, что прохождение сигнала через канал привело к изменению его формы.

Если искажения сигналов в канале отсутствуют и непрерывный капал является гауссовым, то изменение формы сигнала обусловлено лишь действием флуктуационной помехи Сигнал на входе решающей схемы можно представить в виде

На основании отсчетов напряжения принятого сигнала в моменты времени решающая схема демодулятора должна определить: был принят импульс с амплитудой или импульс с амплитудой —А, Так как является детерминированной величиной, то распределение суммы полностью определяется одномерным распределением помехи

Вероятности ошибок и правильного приема определяются не только характеристиками помех, но и порогом а принятия решения. Если то принимается решение о том, что пришел

отрицательный импульс. Правильные решения принимаются тогда, когда выполняются следующие неравенства

Ошибки происходят тогда, когда неравенства (4.27), (4.28) не выполняются из-за выбросов, обусловленных помехой. Условные вероятности ошибок — это вероятности выполнения противоположных неравенств, поэтому

Если амплитуды положительных и отрицательных импульсов передаваемого сигнала одинаковы, удобно взять . В этом случае Такой канал называют симметричным. Условная вероятность появления ошибки в симметричном канале

где — среднеквадратическое значение помехи; функция Крампа (2.88).

Безусловную вероятность ошибки определим, по формуле полной вероятности

Из-за симметрии двоичного канала полная вероятность ошибки совпадает с условной вероятностью. Это удобное свойство симметричного канала, так как значение (одного параметра) полностью определяет свойства двоичного однородного симметричного канала без памяти. Полная вероятность правильного приема сигналов

так как

Реальный дискретный канал можно рассматривать как функциональный преобразователь распределения вероятностей появления символов входного алфавита в распределение вероятностей появления символов выходного алфавита. Идеальный дискретный канал не является преобразователем, поскольку оставляет распределение символов неизменным и оригиналы и копии дискретных сообщений совпадают.

4.3.4. Вероятность появления в кодовой комбинации q ошибок. Так как символы дискретных сообщений кодируют кодовыми

комбинациями, которые включают элементарных кодовых сигналов, представляет интерес определение вероятности того, в кодовой комбинации будет ошибочно принятых элементарных сигналов. Величину называют кратностью ошибок. Если все элементарные сигналы в кодовой комбинации независимы, эта вероятность определяется биномиальным распределением и формулой Бернулли:

где число сочетаний; вероятность появления ошибки при передаче одного элементарного сигнала. (Определение этой вероятности с учетом группирования ошибок дано в § 8.1.)

Среднее число ошибок

Если что справедливо для реальных каналов, максимальной является вероятность того, что ошибок не будет. С ростом функция монотонно убывает. Поэтому ошибки большой кратности (когда ) встречаются реже. Этот вывод справедлив для однородных каналов без памяти при условии, что

Поэтому в первую очередь обращают внимание на обнаружение и исправление ошибок малой кратности.

Контрольные вопросы

(см. скан)