2.4. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовский случайный процесс, гауссовский белый шум. Рассмотрим вероятностные характеристики этих процессов.

2.4.1. Телеграфным сигналом называют случайную видеопоследовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями и детерминированными амплитудами .

Если длительности импульсов распределены по показательным законам с параметрами и т. е. то телеграфный сигнал является стационарным случайным процессом, который имеет показательную корреляционную функцию [1, 15]

где дисперсия процесса; параметр, значения которого полностью определяют корреляционные и спектральные свойства телеграфного сигнала.

Телеграфный сигнал обладает важным свойством. Изменением а можно в широком диапазоне изменять корреляционные и спектральные характеристики процесса. При характеристики телеграфного сигнала приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при к характеристикам белого шума.

Определим интервал корреляции, спектральную плотность и ширину спектра телеграфного сигнала. Интервал корреляции найдем по формуте (2.18)

Из (2.28) следует, что чем больше а, тем меньше время корреляции процесса. При и процесс вырождается в детерминированный. При и процесс вырождается в белый шум, у которого все сечения, в том числе и соседние, не коррелированы.

Спектральную плотность телеграфного сигнала определим с помощью (2.22):

На рис. 2.2 и 2.3 показаны графики функций при

В соответствии с (2.24) ширина спектра телеграфного сигнала

При и процесс вырождается в постоянную составляющую. При и процесс вырождается в белый шум, у которого спектральная плотность постоянная в широком диапазоне частот.

Рис. 2.2. Графики при

Рис. 2.3. Графики при

Интересно отметить, что для телеграфного сигнала произведение

Отсюда следует важный вывод, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал корреляции процесса.

2.4.2. Белый шум используют как модель наиболее тяжелого вида помехи в каналах связи. Он является стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью Название «белый шум» возникло по аналогии с применяемым в оптике понятием белый свет, который содержит все цвета спектра и все спектральные составляющие которого имеют примерно одинаковую энергию.

Определяя белый шум как предельное состояние телеграфного сигнала при найдем свойства белого шума. Умножим и разделим выражение для спектральной плотности телеграфного сигнала на а. Введем спектральную плотность белого шума

тогда

Из (2.33) следует, что если и так, что

Рассмотрим, как изменяются дисперсия и корреляционная функция телеграфного сигнала при Используя (2.32), выразим через а дисперсию

По физическому смыслу спектральная плотность — это мощность процесса, которая приходится на 1 Гц полосы частот, так как Из (2.34) следует, что мощность (белого шума не ограничена. Подставив значение мощности из в (2.27), получим

Так как при то но так, что Поэтому корреляционную функцию белого шума в окрестности точки аппроксимируют дельта-функцией [1, 15] и записывают ее в виде

Определим спектральную плотность белого шума через

Таким образом, белый шум обладает следующими свойствами: спектральная плотность белого шума постоянна, значения белого шума при любых некоррелированы, дисперсия белого шума бесконечна,

Рис. 2.4. Графики спектральных характеристик сигнала и помехи (2)

Многие помехи в технике связи, вычислительной технике и других областях рассматривают как белый шум. К таким помехам относят флуктуационные шумы, помехи в многоканальных системах и сетях связи и др. Важно отметить, что белый шум является идеализацией. В природе не существует источников сигналов и помех, которые могли бы обеспечить бесконечную мощность сигналов и помех, а также генерировать реализации процессов с некоррелированными близкими отсчетами. Тем не менее, этой идеализацией можно пользоваться, если действие помехи с шириной спектра рассматривается в полосе частот полезного сигнала или системы и соблюдается условие

а спектральная плотность помехи слабо изменяется на интервале На рис. 2.4 эти условия иллюстрируют графики спектральных характеристик сигнала (системы) и помехи. Характеристиками помехи как белого шума служат спектральная плотность и средняя мощность в полосе частот сигнала

Частотные составляющие помехи, которые лежат за пределами полосы пропускания системы, в инженерных расчетах можно не учитывать.

2.4.3. Гауссовский процесс. Случайный процесс, -мерная плотность распределения которого имеет вид

называют гауссовским. Здесь

— определитель; дисперсия процесса; алгебраическое дополнение

Для стационарного процесса где Поэтому для гауссовского процесса по корреляционной функции можно определить плотность распределения любого порядка. Первые две плотности распределения этого процесса имеют вид:

где нормированная корреляционная функция

2.4.4. Гауссовский белый шум. Если гауссовский процесс является белым шумом, все сечений его некоррелированы, ( — символ Кронекера). Поэтому плотность распределения порядка для гауссовского белого шума определяют как произведение из одномерных плотностей распределения

Распределенное по закону Гаусса колебание образуется в результате сложения большого числа независимых или слабо коррелированных случайных колебаний.

Контрольные вопросы

(см. скан)