2.11. ВЫВОДЫ

1. Обобщенной спектральной теорией сигналов называют совокупность методов аналитического представления сигналов в виде (1.3). Это одна из наиболее удобных форм описания сигналов для анализа линейных и нелинейных систем. Обобщенная спектральная теория исследует основные закономерности спектрального анализа, общие для различных систем базисных функций, и ставит задачи оптимального выбора этих систем для успешного решения задач передачи и обработки сигналов.

2. Ортогональные разложения Котельникова (2.13), (2.15) для непрерывных сигналов с ограниченными и полосовыми спектрами, так же как и преобразования Фурье для периодических и непериодических сигналов, являются практически важными частными случаями обобщенного ряда Фурье (2.5), примерами практического Применения обобщенной спектральной теории.

Ряды Котельникова позволяют представить непрерывные сигналы в виде дискретных последовательностей импульсов, отстоящих друг от друга на интервал дискретизации. Этот интервал полностью определяется верхней граничной частотой для сигналов с ограниченным спектром и шириной спектра для сигналов с полосовыми спектрами.

Наиболее важным для практики свойством рядов Котельникова является относительно простая аппаратурная реализация дискретизации и восстановления непрерывных сигналов. Поэтому ортогональные разложения Котельникова служат основой для построения дискретных методов передачи непрерывных сигналов. Во многих случаях они позволяют с единых позиций рассматривать передачу дискретных и непрерывных сигналов.

3. При решении задач теории информации и передачи сигналов широко используют такие характеристики сигналов, как корреляционная функция, спектральная плотность распределения мощйости, дисперсия, интервал корреляции, ширина спектра, взаимокорреляционная функция двух сигналов и взаимная спектральная плотность распределения мощности двух процессов.

Корреляционная функция показывает характер статистической связи двух значений случайного процесса, отстоящих друг от друга на некоторый интервал времени. Для определения корреляционных функций процессов используют операции усреднения по множеству (2.17) и по времени (2.20). Связь между корреляционными и спектральными характеристиками случайного процесса устанавливают преобразования Хинчина — Винера (2.22), которые являются аналогом преобразований Фурье для детерминированного процесса.

4. Для моделирования случайных сигналов и помех в теории информации и передачи сигналов часто используют телеграфный сигнал — случайный процесс с показательной корреляционной функцией (2.27), белый шум, гауссовский процесс и гауссовский белый шум. Случайный процесс с показательной корреляционной функцией обладает полезной особенностью. Изменением единственного параметра а (2.27) можно в широких пределах изменять корреляционные и спектральные свойства процесса. При процесс вырождается в детерминированный, при в белый шум.

Белый шум является стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью мощности на всех частотах, его используют как модель наиболее тяжелого вида помех. Гауссовским называют процесс, который имеет нормальное распределение мгновенных значений (2.40). Нормально распределенное колебание образуется в результате сложения большого числа независимых или слабокоррелированных случайных колебаний. Белый шум, у которого распределение мгновенных значений является нормальным, называют гауссовским белым шумом.

5. Канонические (2.44) и неканонические (2.55) разложения случайных сигналов и помех удобны для решения многих задач. Для стационарных случайных процессов часто используют тригонометрические ряды Фурье (2.45), в которых коэффициенты разложения являются некоррелированными случайными величинами. Для нестационарных процессов необходимо выбирать другие базисные функции, чтобы обеспечить некоррелированность коэффициентов разложения.

В каноническом разложении Котельникова интервал дискретизации случайного процесса определяется его интервалом корреляции, максимальным значением спектральной плотности и значением спектральной плотности на нулевой частоте. Интервал дискретизации больше или равен интервалу корреляции процесса.

6. Как специальный вид ортогональных разложений можно рассматривать представление реальных сигналов и помех в виде узкополосных (2.60), (2.61) и аналитических сигналов (2.65).

Осббенность такого представления проявляется в том, что коэффициенты разложения являются функциями времени. Процесс называют узкополосным, если ширина спектра процесса относительно мала по сравнению со средней частотой спектра (2.59). Понятие об аналитических сигналах основано на обобщении символической записи синусоидальных колебаний в комплексной форме. Спектр аналитического сигнала существует только в области положительных частот. Корреляционная функция узкополосного процесса (2.74) равна произведению корреляционной функции огибающей (см. (2.60)) на где средняя частота спектра пронсса.

7. Распределение огибающей гауссовского стационарного узкополосного процесса является релеевским распределением (2.78), распределение фазы — равномерным (2.79).

8. Распределение огибающей суммы гармонического колебания И гауссовского стационарного узкополосного процесса является обобщенным распределением Релея (распределением Райса) (2.86), распределение (2.87) фазы суммы определяется через функцию Крампа (2.88).

9. Задачи синтеза сигналов и помех сводятся к задачам разработки генераторов сигналов и помех. Для получения сигналов-переносчиков создают: высокостабильные узкополосные колебания с возможно меньшей шириной спектра и широкополосные (шумо-подобные) колебания с возможно большей шириной спектра. Применение и тех и других переносчиков имеет свои преимущества. При решении задач синтеза сигналов в общей постановке необходимо учитывать не только структуру и параметры сигналов, но и характеристики генераторов, свойства полезных сигналов, вид модуляции, а также характер последующих преобразований модулированных сигналов.

10. Векторное представление сигналов и помех позволяет применять для решения задач теории информации и передачи сигналов известные методы аналитической геометрии, векторной алгебры и функционального анализа. Сигналы и помехи рассматривают как элементы функциональных пространств, а преобразования сигналов и помех — как отображения одних пространств в другие. Наибольшее распространение получили пространства Евклида, Гильберта и Хемминга.