6. R-функции, соответствующие булевым функциям двух переменных

Функции

при являются Д-функциями

(см. пример 9, гл. 1, 3). Чтобы установить, к каким ветвям эти функции относятся, определим знаки этих функций в каждой из координатных четвертей (табл. 7)

Функция положительна лишь тогда, когда положительны оба аргумента, следовательно, она соответствует конъюнкции Функция положительна, если положителен хотя бы один из ее аргументов, и отрицательна, если оба аргумента отрицательны. Следовательно, функция соответствует дизъюнкции

Заметим, что функции не имеют других нулей, кроме тех, которые отделяют зоны их положительных значений от зон отрицательных значений. На основании теоремы 4 предыдущего параграфа, можно, умножая функции на положительные функции, получить всевозможные R-функции, соответствующие конъюнкции и дизъюнкции. R-функции, соответствующие отрицанию получим по формуле

где произвольная по дожительная функция.

Таблица 7 (см. скан)

Введем обозначения

где а — произвольная величина, заключенная в пределах —

Функцию назовем -конъюнкцией, функцию -дизъюнкцией, а х — -отрицанием. Так как конъюнкция, дизъюнкция и отрицание составляют полную систему, то -конъюнкция, -дизъюнкция и -отрицание, согласно теореме 2 предыдущего параграфа, составляют полную относительно класса -функций систему.

Пусть произвольные неотрицательные функции. Тогда получим следующие формулы общего вида:

Найдем частные производные -конъюнкции

Если дифференцируемые функции и то частные производные (2.71; и (2.72) существуют всюду, за исключением начала координат, где (если имеется разрыв первого рода. Чтобы -конъюнкция была к раз дифференцируемой всюду,

представим в окрестности начала координат функцию в виде

где к раз дифференцирувхмая всюду функция. Аналогично для -дизъюнкции представим функцию в виде

где всюду дифференцируемая функция. Кроме того, функция а должна быть к раз дифференцируемой.

Вопрос выбора функций решается в каждом конкретном случае в зависимости оттех или иных дополнительных условий. Если выбор этих функций безразличен, то следует их выбирать из соображений простоты формул (2.68) и (2.69).

Используя формулы (2.65), (2.66) и (2.67), можно построить Я-функции, соответствующие другим булевым функциям двух переменных. Замечая, например, что

для -функции, соответствующей штриху Шеффера, по лучим формулу

где

Так как импликация может быть представлена в виде

то для -импликации можно записать:

где

Построим -функцию, соответствующую операции равнозначности Так как

то

где

Предположим, что а есть симметричная функция, т. е. Тогда выражение (2.82) может быть преобразовано к виду

Функцию определим по формуле

где

Из формул (2.85)-(2.87) следует, что функция всюду определенна и положительна. Если в формуле (2.84) считать произвольной неотрицательной функцией, получим формулу -равнозначности общего вида.

Формула (2.84) становится наиболее простой, если поэтому в дальнейшем под -равнозначностью будем подразумевать функцию