ГЛАВА ШЕСТАЯ. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСКРОЯ

1. Основные понятия

Проблема наиболее экономичного раскроя материалов, имеющая важное народнохозяйственное значение, постоянно привлекает внимание многочисленных исследователей [4, 10, 17, 24]. Большинство работ по оптимальному раскрою посвящено либо задачам линейного раскроя, когда учитывается лишь одно из измерений выкроек и не учитывается их форма, либо задачам, когда выкройки имеют весьма простую форму (прямоугольную, уголковую и т. п.). Некоторые работы посвящены обобщению опыта специалистов-практиков.

В настоящей главе, на основе использования аппарата -функций, делается попытка систематического рассмотрения задач оптимального раскроя с выкройками произвольной формы. В отличие от линейного раскроя задачи оптимального раскроя с произвольными выкройками должны быть отнесены к задачам оптимального планирования с нелинейными ограничениями. Для их решения могут быть использованы методы, рассмотренные в предыдущей главе.

На практике встречаются многочисленные разновидности задач оптимального раскроя. В одном случае требуется выкроить из данного листа материала максимально возможное количество выкроек заданной формы, в другом — требуется так разместить некоторый набор выкроек на материале данной длины, чтобы на их изготовление было израсходовано минимальное количество метров материала и т. д. В некоторых случаях необходимо учитывать различного рода технологические соображения (например, условия штамповки или резания

материалов), наличие «лица» и «изнанки», анизотропию материала и т. д. Однако, несмотря на такое многообразие задач оптимального раскроя, к их решению может быть применен единый подход.

Всякая задача оптимального раскроя состоит в наилучшем (в каком-то смысле) размещении выкроек (заготовок) на материале, подлежащем раскрою.

Выкройки будем представлять изготовленными в виде пластинок, которые можно перемещать по плоскости, в которой расположен материал, подлежащий раскрою. Будем предполагать, что выкройки имеют форму связных областей, ограниченных кусочно-гладкими кривыми.

Пусть есть произвольная выкройка. Некоторое положение выкройки будем считать начальным. Свяжем с выкройкой подвижную систему координат (подвижную плоскость) и выберем оси этой подвижной системы координат так, чтобы в начальном положении выкройки они совпадали с соответствующими осями неподвижной системы координат. Точку подвижной плоскости, которая в начальном положении выкройки совпадает с началом неподвижной системы координат, назовем полюсом выкройки. Ось абсцисс подвижной системы координат будем называть осью выкройки. Условимся, что если выкройка имеет оси симметрии, то точка их пересечения считается полюсом выкройки, а одна из осей симметрии — осью выкройки. Если выкройка имеет всего одну ось симметрии, то эта ось считается осью выкройки, а в качестве полюса принимается любая точка оси симметрии.

Положение подвижной плоскости вполне определяется заданием полюса и оси выкройки. Полюс может быть задан координатами относительно неподвижной системы координат, а направление оси углом между этим направлением и направлением неподвижной оси абсцисс. Угол будем отсчитывать от положительного направления неподвижной оси абсцисс против хода часовой стрелки. Параметры определяющие положение подвижной плоскости, связанной с выкройкой назовем параметрами размещения выкройки Таким образом, положение выкройки на плоскости вполне определяется тремя параметрами или, другими словами, выкройка имеет на плоскости три степени свободы.

Кроме параметров размещения выкройка характеризуется также своей формой. Форма выкройки вполне определяется формой той области которую выкройка покрывает в своем начальном положении. Предположим, что область определяется неравенством (Такое неравенство всегда может быть написано методами, изложенными в гл. 3). Тогда уравнение назовем каноническим уравнением выкройки Относительно, функции будем предполагать, что она определена и непрерывна всюду на плоскости

Пример 1. Предположим, выкройка предсгавляет собой объединение кругов, имеющих радиусы и а расстояние между центрами кругов равно Взяв в качестве полюса выкройки центр одного из кругов, а ось выкройки направив вдоль оси ее симметрии (рис. 41, а), каноническое уравнение выкройки напишем в виде

Полагая для простоты получим

Рис. 41.

Пример 2. Выкройка, изображенная на рис. 41, б, может рассматриваться как пересечение прямоугольника со внешностью прямоугольника Прямоугольник может рассматриваться как пересечение полосы определяемой неравенством с полосой определяемой неравенством а прямоугольник как пересечение полос определяемых соответственно неравенствами

Следовательно, область покрываемая выкройкой, может быть определена с помощью логической формулы

или

Поэтому каноническое уравнение рассматриваемой выкройки можно написать в виде

Может случиться, что в одной и той же задаче встречается несколько одинаковых выкроек. В этом случае условимся считать, что все эти выкройки имеют одно и то же каноническое уравнение и различаются лишь своими параметрами размещения. Очевидно, что задание канонического уравнения выкройки и параметров ее размещения вполне определяет выкройку. По этой информации выкройка фактически может быть построена. В процессе решения задачи оптимального раскроя форма каждой выкройки, а следовательно, и ее каноническое уравнение, остается без изменений. Поэтому в результате решения задачи должны быть получены параметры размещения всех выкроек. Используя эти параметры, можно построить все выкройки и, таким образом, получить фактическое решение задачи оптимального раскроя. При решении задачи оптимального раскроя на ЭЦВМ, имеющей графический выход, выкройки могут быть вычерчены самой машиной.

В заключение заметим, что выкройка может иметь меньше, чем три степени свободы. Например, положение круговой выкройки вполне определяется заданием координат ее центра и, таким образом, круговая выкройка имеет всего две степени свободы. Может случиться, что материал подлежащий раскрою, анизотропен (например, ортотропный), и ось выкройки должна быть строго направлена по одной из осей анизотропии. В этом случае положение выкройки вполне определяется положением её полюса и двумя параметрами.