4. Теорема о нормальном уравнении объединения чертежей

Приведенная ниже теорема позволяет составлять нормальное уравнение всякого чертежа по известным нормальным уравнениям его частей.

Теорема 1. Если есть нормальная функция чертежа нормальная функция чертежа то функция

есть нормальная функция чертежа представляющего собой объединение чертежей

Рис. 28.

Доказательство. На основании формулы (2.101) имеем

Пример 1. Напишем нормальное уравнение чертежа составленного из двух соприкасающихся окружностей (рис. 28).

Согласно формуле (4.10) нормальные уравнения этих окружностей имеют вид

Тогда нормальное уравнение соприкасающихся окружностей будет

Пример 2. Нормальное уравнение чертежа, состоящего из двух точек имеет вид

Пусть есть нормальная функция чертежа состоящего из одного отрезка с концами в точках нормальная функция чертежа, состоящего из двух точек — концов отрезка . Тогда имеет место теорема:

Теорема 2. Во всех точках плоскости, кроме точек отрезка имеет место равенство

разность между нормальной функцией отрезка и нормальной функцией его концов есть бесконечно малая более высокого порядка, чем длина отрезка .

Доказательство. Через точки проведем прямые перпендикулярные отрезку . Очевидно, что вне полосы, заключенной между этими прямыми, функции совпадают. Следовательно, в точках, расположенных вне указанной полосы, равенство (4.35) выполняется. Пусть точка лежит между прямыми Тогда соответствующая ей точка противостояния для чертежа будет заключена между точками Примем для простоты, что ближайшим к точке концом чертежа является точка Тогда справедлива формула

Из формулы (4.36) следует равенство (4.35).

Если есть точка отрезка то вместо неравенства (4.36) получим

Теорема 2 может быть использована для аппроксимации нормальной функции произвольного чертежа, который с достаточной точностью можно приблизить системой мелких отрезков. Однако такой метод аппроксимации громоздок. Ниже приводится точное выражение для нормальной функции дуги окружности произвольного радиуса и, в частности, для отрезка прямой.