3. О построении функции w(x, y)

В некоторых задачах построение функции со которая была бы равна нулю на границе заданной области сохраняла бы постоянный знак внутри этой области и обладала заданными дифференциальными свойствами, решается весьма просто. Например, если область есть внутренность или внешность круга радиуса R с центром в начале координат, функция со может быть выбрана в виде

Если область есть внутренность прямоугольника с вершинами в точках то функцию со можно выбрать так:

Если же область есть внешность указанного прямоугольника, то функцию взять в виде (7.34) нельзя, так как будет нарушено требование необращения этой функции в нуль внутри области . В самом деле, функция (7.34) равна нулю вдоль прямых Методы, которые обычно применяются при решении краевых задач для областей сложной формы, достаточно полно изложены в известной книге Канторовича и В. И. Крылова [18]. Знакомство с этими методами позволяет составить весьма - наглядное представление о тех трудностях, с которыми приходится сталкиваться при попытках применить методы Ритца и Бубнова-Галеркина для «нестандартных» областей, особенно для областей невыпуклой формы. Построить функцию со искусственным путем не всегда легко и многие авторы используют различные методы, связанные с разбиением области на части и введением некоторых дополнительных

параметров, которые определяются из условий сопряжения решений на границах между этими частями.

Изложенные в главе 3 методы позволяют решить задачу построения функции всегда, практически для любого кусочно-гладкого контура При этом, если контур составлен из кусков кривых, определяемых уравнениями

где реализуемые функции, то функция может быть построена с помощью системы функций состоящей из функций и функций, входящих в систему В частности, если контур составлен из кусков алгебраических кривых (отрезков прямых, дуг кривых второго порядка, третьего порядка и т. д.), то функция со может быть построена с помощью функций

Обратим внимание на то, что есть одно отличие задачи построения функции от задачи построения уравнения контора Уравнение является уравнением контура если ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этому контуру. В задаче построения функции нас не интересует поведение функции вне области Функция о) может цринимать вне этой области какие угодно, в том числе и нулевые, значения. Этот произвол в выборе функции со вне области может быть использован с точки зрения построения функции возможно более простого вида.

Пусть, например, область представляет собой область, изображенную на рис. 63, а. Функцию можно выбрать в виде

хотя уравнение есть уравнение чертежа, состоящего из двух окружностей и двух пар параллельных прямых (рис. 63, б).

Несколько сложнее построить функцию со для области, изображенной на рис. 64, а. Вначале напишем уравнение меньшего прямоугольника, рассматривая его как пересечение полос

Рис. 63

Рис. 64.

Функция положительна внутри этого прямоугольника и отрицательна вне его. Поэтому функцию можно выбрать в виде

Уравнение есть уравнение чертежа, изображенного на рис. 64, б штрихом.