10. Некоторые дифференциальные свойства R-конъюкции и R-дизъюнкции

В качестве аргументов -функции могут быть взяты действительные функции Полученная функция

не является, вообще говоря, -функцией.

В настоящем параграфе приводятся некоторые результаты, с помощью которых по общим свойствам функций можно судить о свойствах сложной функции (2.109).

Лемма. Если непрерывная функция имеет непрерывные внутри областей частные производные до второго порядка включительно и, кроме тога, удовлетворяет условиям:

(является -функцией, соответствующей конъюнкции );

(является однородной функцией первого порядка);

то выполняются неравенства!

Доказательство. На основании теоремы Эйлера для однородных функций, получим:

Дифференцируя тождество (2.111) по находим

Отсюда

Аналогично, дифференцируя тождество (2,111) по находим

Сравнивая формулы (2.113) и (2.114), получим

Так как по условию леммы то на основании последнего равенства имеем

В связи с тем, что функция есть -функция, соответствующая конъюнкции, то она положительна в первой четверти и отрицательна в остальных четвертях. Поэтому в силу своей непрерывности, она равна нулю на обеих положительных полуосях. Приняв в формуле считая неотрицательным, находим

В первой четверти поэтому смешанная частная производная , определяемая формулой (2.113), имеет знак, противоположный знаку второй изводнои —1, т. е. в силу условия в), является неотрицательной. Следовательно,

В силу условия (2.117) производная рассматриваемая как функция является возрастающей в первой четверти. Так как при имеет место равенство (2.116), то в первой четверти, 0.

Во второй четверти и имеют значения разных знаков, следовательно, смешанная производная согласно (2.113) имеет тот же знак, что и т. е. является неположительной. Следовательно, производная во второй четверти не возрастает при изменении от до 0. Так как при имеет место равенство (2.116),

Таким образом, в верхней полуплоскости имеет место неравенство На основании формулы (2.115) и условия в) имеем о. Следовательно, функция не возрастает с возрастанием от до Так как в верхней полуплоскости то также и в нижней полуплоскости.

Аналогично находим, что

Теорема 1. Если удовлетворяет условиям леммы, всюду определенные дважды дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям:

где I — произвольное направление, то

Доказательство. Дифференцируя функцию дважды по I, получим

Так как

то из формулы (2.121) следует неравенство (2.119).

Пример 1. Легко убедиться в том, что условиям теоремы 1 удовлетворяет R-конъюнкция если В самом деле

Теорема 2. Если дважды дифференцируемые функции где любое направление, то при

Теорема 2 является следствием теоремы 1.

Заметим, что если в формуле (2.124) изменить порядок расположения скобок, получим некоторую другую функцию. Но и у этой функции вторая производная по произвольному направлению I будет неположительна. Теорема 2 также справедлива и в том случае, если принимать различные значения постоянной при последовательном выполнении операции т. е.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 3. Если непрерывная функция имеет непрерывные внутри областей частные производные до второго порядка включительно и, кроме того, удовлетворяет условиям

является -функцией, соответствующей дизъюнкции);

дважды дифференцируемые функции и

где I — любое направление, то

Пример 2. Легко убедиться в том, что условиям теоремы 3 удовлетворяет -дизъюнкция если В самом деле