ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1. Задачи о минимуме функционала. Метод Ритца

Пусть есть произвольная замкнутая область на плоскости ограниченная кусочно-гладким контуром Предположим, что в точках контура задана непрерывная вдоль контура функция Множество функций, непрерывных в области имеющих внутри непрерывные частные производные первого порядка и интегрируемый квадрат модуля градиента, принимающих на контуре значения, равные обозначим через Рассмотрим задачу о минимуме функционала

где непрерывная функция, при условии, что искомая функция а принадлежит множеству Условие

которому удовлетворяет искомая функция и на контуре называется граничным условием.

Одним из наиболее часто применяющихся методов решения задач такого типа является метод Ритца, который состоит в следующем.

Предположим, что функция и представляет собой точное решение поставленной задачи, соответствующее минимальное значение функционала (7.1). Это означает, что для всякой функции и

принадлежащей множеству выполняется неравенство

В то же время, можно ожидать, что если разность достаточно мала, то функция мало отличается от точного решения и может рассматриваться как некоторое приближение. Другими словами, если удастся построить такую последовательность что при то эта последовательность будет в том или ином смысле сходиться к точному решению

Ритцем была предложена следующая процедура нахождения функции для которой разность достаточно мала.

Строится функция

принадлежащая при всех значениях параметров к множеству функции, которые могут быть получены из формулы (7.4) фиксированием значений параметров, образуют некоторое подмножество множества

При этом может случиться, что искомая функция попадет в подмножество если искать минимум функционала (7.1), ограничившись функциями из подмножества 91, будет найдено точное решение.

Если функцию (7.4) подставить в функционал (7.1), получим функцию параметров Минимум функции может быть найден, как обычный минимум функции аргументов. В задачах, наиболее часто встречающихся на практике, подынтегральное выражение в формуле (7.1) представляет собой многочлен второй степени относительно Поэтому, если в формулу (7.4) параметры ввести линейно, функция окажется полиномом второго порядка и, следовательно, задача поиска ее минимума сведется к решению линейной системы. Если же функция

имеет более сложную структуру, то для нахождения ее минимума могут быть применены методы, рассмотренные в гл. 5. После того, как минимум функции будет найден, значения параметров соответствующие этому минимуму, следует подставить в формулу (7.4), в результате чего получим наилучшее решение которые можно получить, используя лишь функции из подмножества

Рассмотрим последовательность

где функции, принадлежащие множеству Каждая функция последовательности (7.5) имеет на один параметр больше, чем предыдущая. Будем предполагать, что если этот дополнительный параметр положить равным нулю, получим предыдущую функцию последовательности, т. е.

В этом случае каждое семейство функций включает в себя все предыдущие семейства и, следовательно, класс допустимых функций, среди которых ищется функция, минимизирующая функционал (7.1), будет расширяться с увеличением числа параметров. Отсюда вытекает, что т. е. последовательность является невозрастающей. Возникает вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что

Теорема 1. Если, какова бы ни была функция принадлежащая множеству и положительное число найдется такое и такой набор параметров что имеют место неравенства

то

Доказательство. Если то в силу неравенств (7.8) и непрерывности функции разность

может быть сделана в области сколь угодно малой. Тогда сколь угодно малой может быть сделана и разность функционалов

Пусть есть функция, принадлежащая семейству которой, по сравнению с другими функциями этого семейства, соответствует наименьшее значение функционала (7.1), т. е. Так как то

В связи с тем, что разность может быть сделана сколь угодно малой при достаточно большом то делаем вывод, что при

Последовательность функций (7.5), удовлетворяющая условиям теоремы 1, называется относительно полной (полной по отношению к множеству функций, удовлетворяющих граничному условию (7.2) и непрерывных вместе со своими частными производными первого порядка).

Чаще всего последовательность (7.5) выбирается в виде

Очевидно, что для выполнения граничного условия (7.2) при любых значениях параметров надо, чтобы функция со была равна нулю на контуре а функция принимала на этом контуре значения, равные Таким образом, должны выполняться условия

Кроме того, функции должны быть непрерывны в области и иметь непрерывные частные производные первого порядка

во внутренних точках этой области. Заметим, что функция должна сохранять постоянный знак внутри области так как в противном случае внутри области найдутся некоторые линии, в точках которых функция обращается в нуль. Следовательно, в этих точках приближение при любом будет совпадать с функцией которая не совпадает с точным решением задачи и не изменяется в процессе построения последовательных приближений. Функция есть некоторая фиксированная функция из множества а функция фиксированная функция из множества

Таким образом, для того, чтобы к задаче о минимуме функционала мог быть применен описанный выше метод Ритца, необходимо уметь строить функции и удовлетворяющие указанным выше условиям. Так как уравнение может рассматриваться как уравнение контура то функция со может быть построена методами, изложенными в гл. 3, практически для любого кусочно-гладкого контура. Задача о построении функции является обобщением задачи о построении уравнения чертежа.

Если функция задана в виде некоторого единого аналитического выражения, определена и непрерывна не только на контуре но и всюду в области и имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри области то можно положить Однако, во многих задачах функция задается различными аналитическими выражениями на различных участках контура Может также случиться, что хотя эта функция и задана в виде единого аналитического выражения, но не определена в области или же имеет разрывные производные.

Общий метод построения функции принадлежащей к множеству будет рассмотрен ниже.

Если функции и построены, то возникает вопрос о том, какими должны быть функции чтобы последовательность функций (7.11) была относительно полной.

Теорема 2. Если, какова бы ни была функция непрерывна в замкнутой области вместе с частными производными первого порядка, и каково бы ни было положительное число найдется такой многочлен

что в области выполняются неравенства

то последовательность (7.11) будет относительно полной. При этом предполагается, что

и в области

Последовательность функций удовлетворяющая условиям теоремы 2, оказывается полной по отношению к множеству Же, рассмотренному в гл. 1, 2.

Доказательство теоремы 2 можно найти в работе [18]. В гл. 1, 2 была сформулирована теорема Вейерштрасса, согласно которой условиям теоремы 2 удовлетворяет последовательность

Другие последовательности функций, удовлетворяющие условиям этой теоремы, можно получить, применив к последовательности подходящую замену переменных. Если, например, положить получим последовательность

Формулы [34]

где есть целая часть числа позволяют представить любой полином

в виде

где полиномы от не более чем порядка, причем, полиномы содержат не менее чем в степени. Таким образом, полная последовательность функций может быть получена следующим образом:

Аналогично можно получить и другие, полные по отношению к множеству функции.