7. Размещение выкроек на материале

При решении задач оптимального раскроя надо следить не только за тем, чтобы не происходило взаимного наложения выкроек, но и за тем, чтобы выкройки не выходили за пределы материала, имеющего конечные размеры. Задача о размещении выкроек на материале может рассматриваться как специальный случай задачи о непересечении выкроек, если считать внешность области, покрываемой материалом, некоторой выкройкой. Это позволяет использовать результаты предыдущих параграфов о непересечении выкроек в задаче размещения выкроек наматериале.

Пусть область занимаемая материалом, определяется неравенством Тогда область

представляющая собой внешность области будет определяться неравенством Условие размещения выкройки имеющей уравнение общего положения на материале согласно формуле (6.20), может быть записано в виде

Здесь, как и в гл. 6, 3, приходим к классической задаче отыскания экстремума. Во многих случаях можно написать условия размещения выкроек на материале, минуя трудности, связанные с отысканием экстремума в формуле (6.63).

Рассмотрим задачу о размещении выкроек на материале, который имеет форму круга.

Пусть есть выкройка, контур которой соетавлен из дуг окружностей и отрезков прямых. Воспользовавшись результатами гл. 4, 11, построим верхнюю нормальную функцию контура соответствующую начальному положению выкройки Если воспользоваться формулами переноса и поворота подвижной системы координат, напишем верхнюю нормальную функцию соответствующую общему положению выкройки

Теорема 1. Условие размещения выкройки на материале имеющем форму круга радиуса R с центром в точке , может быть записано в вйде

где верхняя нормальная функция контура выкройки соответствующая общему положению.

В самом деяе, если контур находятся внутри круга то максимальное расстояние от центра этого круга до точек контура выкройки не превзойдет Если же точки контура выходят за пределы круга значение верхней нормальной функции в центре круга будет больше Таким образом, выполнение условия (6.64) является необходимым и достаточным для размещения выкройки на круге

Теорема 1 о склеенных выкройках, сформулированная в гл. 4, 4, дает возможность записать условие размещения выкройки если для контура этой выкройки

построена верхняя нормальная функция, на материале, имеющем форму общей части нескольких круговых областей

Если центры этих кругов находятся в точках а радиусы равны соответственно, то условия размещения выкройки имеющей верхнюю нормальную функцию на материале определяемом логической формулой

можно записать в виде

Рис. 46.

Рассмотрим теперь задачу о размещении выкроек на материале многоугольной формы, например, размещение выкройки на полуплоскости (рис. 47).

Полуплоскость будем рассматривать как предельное положение круга радиуса с центром в точке при

Рис. 47.

Условие принадлежности выкройки этому кругу имеет вид

Поэтому условие размещения выкройки на полуплоскости

Пример 1. Напишем условие размещения прямоугольника (рис. 48) со сторонами а и на полуплоскости

Верхняя нормальная функция прямоугольника совпадает с верхней нормальной функцией чертежа, состоящего из четырех его вершин

Тогда условие (6.68) принимает вид

На основании формулы (4.38) получим тождество

Поэтому неравенство (6.70) можно привести к виду

Так как

то приходим к неравенству

Рис. 48.

Учитывая зависимости

неравенство (6.74) перепишем в виде

Так как то условие (6.74) означает, что меньшая из абсцисс вершин прямоугольника неотрицательна.

Напишем условие размещения выкройки на произвольной полуплоскости Полуплоскость зададим граничной точкой и единичным вектором внутренней нормали к границе полуплоскости. С полуплоскостью (I) свяжем подвижную систему координат так, как указано на

рис. 49. Координаты точек относительно подвижной и неподвижной систем координат связаны соотношениями

Воспользовавшись формулой (6.68), условие размещения выкройки на полуплоскости (2) запишем в виде

где параметры размещения выкройки

Рис. 49.

Умея составлять условия размещения выкройки на произвольной полуплоскости, можно составить условия ее размещения на произвольном выпуклом многоугольнике, так как последний можно рассматривать как пересечение нескольких полуплоскостей.

Пример 2. Для выкройки построена верхняя нормальная функция Требуется записать условия ее размещения на прямоугольнике с вершинами в точках

Прямоугольник (X) можно рассматривать как пересечение полуплоскостей

Полуплоскость может быть задана точкой и единичным вектором полуплоскость точкой и вектором полуплоскость - точкой и вектором полуплоскость точкой и вектором Поэтому условие размещения выкройки на прямоугольнике можно записать в виде

или

Таким образом, задача составления условий размещения вцкроек на материале многоугольной формы решена практически для любых выкроек, так как их контур всегда можно с достаточной точностью аппроксимировать дугами окружностей и отрезками прямых, и, следовательно, строить для них верхние нормальные функции.