4. Расчет жесткости кручения стержней с профилем сложной формы

Как известно [25], жесткость кручения стержня с профилем, имеющим форму области может быть вычислена по формуле

где функция и представляет собой решение в области задачи Дирихле для уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями.

Как было показано в предыдущих параграфах, основная трудность при решении таких задач вариационными методами состоит в построении функции которая была бы равна нулю на границе области сохраняла бы постоянный знак внутри этой области и обладала заданными дифференциальными свойствами.

Предположим, что область составлена из областей определяемых неравенствами соответственно. Тогда предикат принимающий значение истинности в области и ложности вне ее, имеет вид

Пусть область составлена из областей так, что предикат принимает значение истинности внутри ложности вне ее, булева функция, записанная с помощью операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Оказывается [36], что если в формуле произвести формальную замену символов символами знаков конъюнкции, дизъюнкции и отрицания знаками -конъюнкции, -дизъюнкции и R-отрицания соответственно, то полученная функция будет всюду определена, непрерывна, положительна внутри области и отрицательна вне ее. Кроме того, функция имеет в открытой области

ограниченные производные первого порядка. Таким образом, функцию можно построить, если построен предикат с описанными свойствами.

Остановимся подробнее на построении предиката для открытой области ограниченной произвольным многоугольником

Нетрудно убедиться, что уравнение

есть уравнение прямой, проходящей через точки а левая его часть есть функция, положительная в открытой области расположенной слева от линии действия вектора и отрицательная — вне ее (рис. 65).

Рис. 65.

Приведенное выше уравнение будем называть ориентированным уравнением прямой, проходящей через точки Ориентированные уравнения прямых, проходящих через соседние вершины многоугольника могут быть записаны в виде

где .

Стороне многоугольника поставим в соответствие открытую область определяемую предикатом

Можно показать, что предикат принимающий значение истинности в открытой области и ложности вне ее, может быть построен в виде

где переключательная функция

построена с использованием только операций дизъюнкции и конъюнкции.

Пусть, например, открытая область ограничена многоугольником (рис. 66). Построим выпуклую оболочку многоугольника Ей принадлежат стороны многоугольника и Стороны не принадлежащие многоугольнику, но принадлежащие его выпуклой оболочке, являются замыкающими для ломаных Обозначим через и предикаты, определяющие открытые области расположенные слева от ломаных соответственно. Рассматривая открытую область как пересечение открытых областей представим предикат в виде

Рис. 66.

Для построения предиката рассмотрим выпуклую оболочку многоугольника Ей принадлежат стороны и не принадлежит сторона замыкающая ломаную Обозначим через предикат, определяющий открытую область расположенную слева от ломаной Рассматривая область как объединение областей получим

Рассуждая аналогично, найдем, что

Следовательно,

Откуда

Таблица 13 (см. скан)

Рис. 67.

В табл. 13 приведены рассчитанные на ЭВМ значения жесткости кручения стержней крестообразной формы (рис. 67). В последнем столбце таблицы приведены значения жесткости кручёйия таких же стержней, полученные другим методом [2].