2. Краевые задачи. Метод Бубнова — Галеркина

Метод Бубнова — Галеркина широко применяется для решения краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Так как о форме областей есть смысл говорить лишь в случае двух или большего числа переменных, в настоящей работе рассматриваются лишь уравнения в частных производных.

Пусть требуется найти функцию удовлетворяющую внутри заданной области дифференциальному уравнению

и принимающую на границе области заданные значения

Метод Бубнова — Галеркина заключается в следующем. Будем искать приближенное решение задачи в виде

Потребуем, чтобы функции точно удовлетворяли граничному условию (7.27) при любых наборах значений постоянных Для этого надо потребовать, чтобы

Таким образом, приходим к той же задаче построения функций и что и в предыдущем параграфе. Отличие здесь состоит лишь в том, что функции со и должны обладать такими дифференциальными свойствами, которые обеспечили бы непрерывность функций в открытой области и их интегрируемость в замкнутой области

Предположим, что функции и построены. Тогда постоянные, входящие в приближение могут быть определены из системы уравнений

или

Если есть линейный оператор, то система (7.32) оказывается линейной и постоянные легко вычисляются.

Метод Бубнова — Галеркина может применяться для решения уравнений различных типов, в том числе для уравнений, непосредственно не связанных с вариационными задачами. В задачах, которые являются аналогом вариационных задач, метод Ритца часто приводит к тому же приближенному решению, что и метод Бубнова —

Галеркина. Как и в методе Ритца, если последовательность функций является полной относительно множества Же, соответствующая последовательность позволяет сколь угодцо близко приблизиться к точному решению [18].