11. Уравнение произвольного чертежа

Согласно определению, данному в гл. 3, 1, чертеж рассматривается как множество тех точек плоскости которые одновременно принадлежат поверхности соответствующей всюду определенной и непрерывной функции

Предположим, что задана некоторая базисная система функций Пусть Заесть множество -реализуемых функций двух переменных. Так как каждой -реализуемой функции соответствует на плоскости некоторый чертеж (возможно, пустое множество), то множеству соответствует множество чертежей . Чертежи, составляющие множество , назовем -реализуемыми чертежами.

Рассмотрим также множество областей, определяемых неравенствами вида

Области, составляющие множество назовем -реализуемыми областями.

Введем понятие элемента чертежа. Пусть есть некоторый -реализуемый чертеж, какая-либо -реализуемая область. Тогда ту часть чертежа, которая принадлежит одновременно области назовем

элементом чертежа Таким образом, каждой -реализуемой области соответствует определенный элемент чертежа Заметим, что чертеж является своим собственным элементом. В самом деле, функция определяющая чертеж является -реализуемой. Следовательно, область определяемая неравенством является также -реализуемой. Очевидно, что чертеж принадлежит области таким образом, является своим собственным элементом.

Перейдем к задаче о построении уравнения произвольного чертежа. Пусть чертеж представляет собой объединение чертежей каждый из которых представляет собой элемент какого-либо -реализуемого чертежа. Пусть есть уравнения чертежей (эти уравнения могут быть построены с помощью метода, изложенного в гл. 3, 9). Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Уравнение чертежа может быть написано в виде

В самом деле, если точка, принадлежит чертежу то она принадлежит одному из чертежей следовательно, в этой точке обратится в нуль соответствующий сомножитель в левой части уравнения (3.112). Если точка не принадлежит чертежу то ни один из сомножителей в нуль не обращается и следовательно, координаты точки не удовлетворяют уравнению (3.112).

Другой вид уравнения чертежа получим, если воспользуемся операцией -конъюнкции. Однако, в этом случае необходимо, чтобы функции были не отрицательные. Поэтому можно воспользоваться функциями которым соответствуют те же чертежи, что и функциям

Теорема 2. Уравнение чертежа может быть написано в виде

Заметим, что если функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно, то функции, стоящие в левой части уравнений (3.112) и (3.113), также имеют непрерывные частные производные до порядка включительно.

Пример 1. Пусть требуется написать уравнение правильного -угольника.

Предположим, что радиус описанной вокруг данного -угольника окружности равен единице. Поместим начало координат в центр -угольника и направим ось абсцисс так, чтобы она прошла через одну из его вершин (например, вершину (рис. 20).

Рис. 20.

Координаты вершины многоугольника имеют вид

Уравнение прямой, проходящей через соседние вершины и А можно написать в виде:

Данный -угольник можно построить с помощью областей определенных неравенствами согласно формуле

или, согласно правилам де Моргана

Следовательно, уравнение правильного -угольника можно написать в виде

Рассмотрим другой способ построения уравнения этого -угольника. Вначале напишем уравнение отрезка, соединяющего точки Пусть есть круг, имеющий

отрезок в качестве диаметра. Внутренность этого круга определяется неравенством

где есть длина отрезка. Уравнение прямой, проходящей через точки можно записать в виде

Тогда, согласно формуле (3.100), уравнение отрезка будет иметь форму

или

Воспользовавшись этой формулой, напишем уравнение стороны -угольника

Тогда уравнение рассматриваемого -угольника можно написать в виде