Главная > Геометрические приложения алгебры логики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11. Уравнение произвольного чертежа

Согласно определению, данному в гл. 3, 1, чертеж рассматривается как множество тех точек плоскости которые одновременно принадлежат поверхности соответствующей всюду определенной и непрерывной функции

Предположим, что задана некоторая базисная система функций Пусть Заесть множество -реализуемых функций двух переменных. Так как каждой -реализуемой функции соответствует на плоскости некоторый чертеж (возможно, пустое множество), то множеству соответствует множество чертежей . Чертежи, составляющие множество , назовем -реализуемыми чертежами.

Рассмотрим также множество областей, определяемых неравенствами вида

Области, составляющие множество назовем -реализуемыми областями.

Введем понятие элемента чертежа. Пусть есть некоторый -реализуемый чертеж, какая-либо -реализуемая область. Тогда ту часть чертежа, которая принадлежит одновременно области назовем

элементом чертежа Таким образом, каждой -реализуемой области соответствует определенный элемент чертежа Заметим, что чертеж является своим собственным элементом. В самом деле, функция определяющая чертеж является -реализуемой. Следовательно, область определяемая неравенством является также -реализуемой. Очевидно, что чертеж принадлежит области таким образом, является своим собственным элементом.

Перейдем к задаче о построении уравнения произвольного чертежа. Пусть чертеж представляет собой объединение чертежей каждый из которых представляет собой элемент какого-либо -реализуемого чертежа. Пусть есть уравнения чертежей (эти уравнения могут быть построены с помощью метода, изложенного в гл. 3, 9). Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Уравнение чертежа может быть написано в виде

В самом деле, если точка, принадлежит чертежу то она принадлежит одному из чертежей следовательно, в этой точке обратится в нуль соответствующий сомножитель в левой части уравнения (3.112). Если точка не принадлежит чертежу то ни один из сомножителей в нуль не обращается и следовательно, координаты точки не удовлетворяют уравнению (3.112).

Другой вид уравнения чертежа получим, если воспользуемся операцией -конъюнкции. Однако, в этом случае необходимо, чтобы функции были не отрицательные. Поэтому можно воспользоваться функциями которым соответствуют те же чертежи, что и функциям

Теорема 2. Уравнение чертежа может быть написано в виде

Заметим, что если функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно, то функции, стоящие в левой части уравнений (3.112) и (3.113), также имеют непрерывные частные производные до порядка включительно.

Пример 1. Пусть требуется написать уравнение правильного -угольника.

Предположим, что радиус описанной вокруг данного -угольника окружности равен единице. Поместим начало координат в центр -угольника и направим ось абсцисс так, чтобы она прошла через одну из его вершин (например, вершину (рис. 20).

Рис. 20.

Координаты вершины многоугольника имеют вид

Уравнение прямой, проходящей через соседние вершины и А можно написать в виде:

Данный -угольник можно построить с помощью областей определенных неравенствами согласно формуле

или, согласно правилам де Моргана

Следовательно, уравнение правильного -угольника можно написать в виде

Рассмотрим другой способ построения уравнения этого -угольника. Вначале напишем уравнение отрезка, соединяющего точки Пусть есть круг, имеющий

отрезок в качестве диаметра. Внутренность этого круга определяется неравенством

где есть длина отрезка. Уравнение прямой, проходящей через точки можно записать в виде

Тогда, согласно формуле (3.100), уравнение отрезка будет иметь форму

или

Воспользовавшись этой формулой, напишем уравнение стороны -угольника

Тогда уравнение рассматриваемого -угольника можно написать в виде

1
Оглавление
email@scask.ru