8. Уравнение границы области в трехмерном пространстве

До сих пор рассматривались области на плоскости Однако все изложенные в предыдущих параграфах результаты могут быть использованы для построения уравнений кусочно-гладких поверхностей, ограничивающих области в трехмерном (и, вообще, -мерном) пространстве.

Пример 1. Дан куб с вершинами в точках ;

С помощью операций построить такую дважды дифференцируемую функцию , чтобы уравнению удовлетворяли координаты тех и только тех точек, которые принадлежат поверхности куба.

Данный куб можно рассматривать как пересечение следующих областей: области ограниченной плоскостями области ограниченной плоскостями и области ограниченной плоскостями Для областей получим неравенства

Поэтому уравнение границы куба

Заметим, что уравнение этой же границы можно записать также в виде

или

Пример 2. Пусть требуется написать уравнение поверхности детали, изображенной на рис. 16, а.

Рис. 16.

Данная поверхность может быть составлена из границ следующих областей: а) бесконечного цилиндра определяемого неравенством б) бесконечного цилиндра определяемого неравенством слоя заключенного между плоскостями ; г) слоя заключенного между плоскостями бесконечной призмы с ребрами, параллельными оси имеющей в перпендикулярном сечении прямоугольник (рис. 16, б).

Область заполненная рассматриваемой деталью, определяется логической формулой

Тогда уравнение поверхности детали будет

В гл. 5 будут приведены примеры областей в -мерном пространстве.