11. Верхняя нормальная функция

Рассмотрим верхнюю нормальную функцию, напоминающую по своим свойствам нормальную функцию чертежа.

Определение 1. Верхним расстоянием от точки до чертежа является величина

Другими словами, есть расстояние отточки до самой удаленной от нее точки чертежа

Очевидно, что если чертеж имеет ветви, уходящие в бесконечность, то верхнее расстояние в любой точке плоскости бесконечно велико. Поэтому в дальнейшем будем говорить об ограниченных чертежах.

Так как чертеж представляет собой замкнутое множество точек, то всегда найдется такая точка что выполняется равенство

Точку назовем точкой верхнего противостояния, соответствующей точке Точки, которым соответствует две или больше точек верхнего противостояния, будем называть точками верхнего раздела. Совокупность точек верхнего раздела образует линию верхнего раздела.

Пример 1. Линией верхнего раздела дуги (см. рис. 23, а) является отрицательная полуось абсцисс.

Пример 2. Линия верхнего раздела прямоугольника состоит из осей его симметрии.

Определение 2. Функция

называется верхней нормальной функцией чертежа

Верхняя нормальная функция в произвольно взятой точке принимает значение, равное радиусу наименьшей окружности, которую нужно провести, приняв точку в качестве центра, чтобы заключить внутрь чертеж В отличие от нормальной функции, которая в точках чертежа принимает нулевые значения, верхняя нормальная функция строго положительна всюду на плоскости. Исключение представляет верхняя нормальная функция для чертежа, состоящего

всего лишь из одной точки: в этой точке верхняя нормальная функция равна нулю.

Пример 3. Верхняя нормальная функция окружности имеет

Приведем некоторые свойства верхней нормальной функции.

Теорема 1. Если точку можно окружить окрестностью, не содержащей точек верхнего раздела, то в точке верхняя нормальная функция дифференцируема.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о дифференцируемости нормальной функции. Если есть точка верхнего противостояния, соответствующая точке а есть угол, который образует произвольно выбранное направление I с вектором то имеет йесто формула

Теорема 2. Если есть верхние нормальные функции чертежей соответственно, то функция

есть верхняя нормальная функция чертежа представляющего собой объединение чертежей

Пример 4. Верхняя нормальная функция чертежа, состоящего из двух точек: имеет вид

Теорема 3. Верхняя нормальная функция чертежа, представляющего собой отрезок с концами в точках определяется формулой (4.117), т. е. совпадает с верхней нормальной функцией чертежа, состоящего из двух точек.

В самом деле, как бы ни была расположена точка относительно отрезка точкой верхнего противостояния для нее будет либо точка либо точка (либо обе эти точки). Присутствие промежуточных точек

отрезка не может повлиять на значение верхней нормальной функции.

Воспользовавшись теоремами 2 и 3, можно построить функцию произвольного чертежа, составленного из отрезков прямых.

Пример 5. Напишем верхнюю нормальную функцию для ломаной, имеющей вершины в точках

Рис. 32.

Теорема 4. Верхняя нормальная функция всякого чертежа всюду вогнута

Доказательство. Верхняя нормальная функция будет вогнутой, если для любой пары точек выполняется неравенство

где есть середина отрезка

Пусть есть точка верхнего противостояния, соответствующая точке Очевидно (рис. 32), что

Из треугольников находим

Отсюда

В силу неравенств (4.120) получим

т. е.. приходим к формуле (4.119).

Из теоремы 4 в частности следует, что наименьшее значение верхней вормальной функции можно найти, например, с помощью метода наискорейшего спуска взяв в качестве начальной какую-либо точку плоскости.

Теорема 5. Верхняя нормальная функция всякого ограниченного чертежа имеет единственную точку минимума.

Доказательство. Предположим противное. Пусть точки минимума. На основании предыдущей теоремы значения верхней нормальной функции в этих точках

Построим круги радиуса В с центрами в точках Тогда данный чертеж должен размещаться в области представляющей пересечение областей Но тогда расстояние точек чертежа от середины отрезка не может превышать величину

где I — длина отрезка Следовательно, значение верхней нормальной функции в середине отрезка оказывается меньше что противоречит условию теоремы.

Точку минимума верхней нормальной функции назовем геометрическим центром чертежа, а значение функции в этой точке — радиусом охвата чертежа.

Задача нахождения геометрического центра и радиуса охвата чертежа равносильна следующей задаче. Всякий ограниченный чертеж может быть заключен внутрь бесчисленного множества кругов. Среди этого множества требуется найти круг наименьшего радиуса. Центром этого круга оказывается геометрический центр чертежа, а радиусом — радиус охвата.