3. Свойства R-функций

Булевы постоянные 0 и 1 могут рассматриваться как булевы функции любого числа аргументов, принимающие для всех наборов постоянное значение. Очевидно, что этим постоянным могут соответствовать лишь знакопостоянные функции непрерывных аргументов, т. е., если то есть -функция, соответствующая единице; функция есть -функция, соответствующая нулю.

В дальнейшем (если не будет оговорено особо) будут рассматриваться непрерывные R-функции. Для непрерывных функций имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если непрерывная функция не имеет нулей в открытых областях то она является -функцией.

В самом деле, если бы функция в некоторой области принимала значения разных знаков, то, в силу непрерывности, она принимала бы в этой области и нулевые значения. Следовательно, функция может иметь нулевые значения лишь на координатных гиперплоскостях. В областях она принимает знакопостоянные значения и, следовательно, является -функциёй.

Пример 1. Функция где целые числа, может принимать нулевые значения лишь на координатных гиперплоскостях. Следовательно, есть функция.

Приведенные ниже теоремы посвящены преобразованиям над -функциями, в результате которых получаются -функции.

Теорема 2. Если есть -функции, то их произведение есть также -функция.

Доказательство. Выше было показано пример 1) что

Пусть -функциям соответствуют булевы функции

Тогда

Таким образом, функция является -функцией и ей соответствует булева функция

Следствие. Если есть -функции, то есть -функция.

Пример 2. В гл. 1 было показано, что функция

является -функцией, соответствующей импликации Функция (гл. 1, 2, пример 2)

соответствует отрицанию равнозначности

Следовательно, функция

есть -функция, соответствующая булевой функции

Разлагая функцию (2.20) попеременной согласно формуле (1.10) получим

Следовательно, -функция (2.19) соответствует булевой функции

Теорема 3. Если есть -функции, то

есть -функция (т. е. сложная функция, составленная из -функций, есть -функция).

Доказательство. Пусть есть булева функция, соответствующая -функции булевы функции, соответствующие -функциям Тогда, на основании формулы (2,5), получим

Следовательно, функции (2.22) соответствует булева функция

Пример 4. Функция соответствует импликации функция равнозначности Поэтому функция

соответствует булевой функции

Замечая, что функция (2.26) принимает значение, равное нулю лишь когда получим

т. е., функции (2.25) соответствует операция дизъюнкции.

Теорема 4. Если есть -функция, а функции знакопостоянные, то функция

является знакопостоянной.

Доказательство. Пусть есть булева функция, соответствующая -функция булевы постоянные, соответствующие знакопостоянным функциям Тогда

Так как функции (2.28) соответствует булева константа, то она является знакопостоянной.

Пример 5. Подставляя в функции (2.17) вместо знакопостоянные функции соответственно, получим знакопостоянную функцию

При этом, так как функция (2.17) соответствует импликации которая при принимает значение равное единице, то функция (2.30) положительна.

Теорема 5. Если -функция интегрируема по переменной то функция

является -функцией.

Доказательство. Зафиксируем значения аргументов Так как есть -функция, то функция на интервалах знакопостоянная. Очевидно, что интеграл (2.31) положителен лишь тогда, когда или т. е., когда Следовательно,

где булева функция, соответствующая -функции Таким образом, функция является -функцией и ей соответствует булева функция

Пример 6. Функция (2.25) соответствует дизъюнкции Тогда функция

является -функцией, соответствующей булевой функции

Следствие. Если -функция тегрируема по нескольким аргументам, то в результате интегрирования ее в указанных выше пределах (возможно, многократно) по каждому из этих аргументов получается -функция.

Теорема 6. Если есть -функция, непрерывная всюду в пространстве а функция положительна, то функция

есть -функция, принадлежащая той же ветви, что и функция

Доказательство. Пусть произвольная точка области соответствующей фиксированному набору знаков аргументов. Соединим эту точку отрезком с точкой Область является выпуклой, поэтому все точки отрезка принадлежат области Так как у — есть непрерывная -функция, то в точках отрезка она сохраняет постоянный знак, а в точке либо имеет тот же знак, либо равна нулю. Следовательно,

где булева функция, соответствующая данной -функции.

Пример 7. Так как функция (2.17) является Я-функцией, то функция

также является R-функцией.

Теорема 7. Если выполняются условия:

а) функция не имеет нулей внутри областей

б) имеет место тождество

в) функция непрерывна в пространстве и обращается в нуль при равенстве нулю хотя бы одного из ее аргументов;

г) функции непрерывны, то функции являются -функциями.

Доказательство. Так как функция не имеет нулей в областях , то с учетом условий б) и в) не имеют нулей в этих областях и функции Тогда, учитывая условие г) и теорему приходим к выводу, что функции являются -функциями.

Следствие 1. Если функция не имеет нулей в областях и может быть представлена в виде

где непрерывные функции, то есть -функции.

Пример 8. Так как функция не имеет нулей вне координатных осей и имеет место тождество

то функции

являются -функциями.

Следствие 2. Если непрерывные функции и не имеет нулей в областях то те корни уравнения

которые определены всюду в пространстве являются -функциями. Это следует из того, что корни уравнения (2.43) являются непрерывными функциями коэффициентов, а их произведение равнр

Пример 9. Рассмотрим уравнение

где произвольная функция, заключенная в пределах — Свободный член уравнения (2.44) обращается в нуль лишь на координатных осях. Корни этого уравнения

действительны при всюду на плоскости так как

Следовательно, корни являются R-функциями.

Рассмотренные в настоящем параграфе теоремы помогают распознавать -функции среди других функций действительных аргументов, а также, используя известные -функции, строить новые.