8. Нормальное уравнение произвольного чертежа, составленного из дуг окружностей и отрезков прямых

Пусть на плоскости задан произвольный чертеж который с заданной точностью может быть аппроксимирован чертежом состоящим из конечного числа дуг окружностей и отрезков прямых. Информацию об этом чертеже можем записать в виде конечной последовательности

если условиться считать, что при точка соединена с точкой дугой окружности, пересекающей хорду в точке 2 под углом а при где произвольное

число, большее точки не соединены между собой. Примем, что при Так как то нормальное уравнение чертежа определяемого последовательностью (4.97), можно написать в виде

Если разработать устройство ввода, способное вводить в электронно-счетную машину информацию о чертеже в виде последовательности (4.97), то можно поручить построение нормального уравнения этого чертежа самой машине.

Заметим, что если в базисную систему функций входят функции то реализуемой оказывается функция взятия модуля так как Тогда можно сказать, что при построении функции определяемой формулой (4.91) используются лишь операции

В связи с этим представляет интерес следующая задача (пока еще не решенная).

Задана некоторая базисная система функций Этой базисной системе соответствует множество -реализуемых функций и множество -реализуемых чертежей. Так как каждому чертежу соответствует определенная нормальная функция то множеству 9? чертежей соответствует множество нормальных функций. Будет ли множество состоять из реализуемых функций? Другими словами, будет ли множество подмножеством множества

Легко убедиться в том, что в такой общей постановке ответ является отрицательным. В самом деле, пусть базисная система состоит из одной функции х. Тогда множество реализуемых функций состоит из трех функций: С, х и у, где С — постоянная. Возьмем, например, уравнение Этому уравнению соответствует ось абсцисс. Очевидно, что нормальное уравнение оси абсцисс имеет вид: Таким образом, для построения нормального уравнения чертежа понадобилась не базисная функция (в данном случае — взятие модуля). Однако, в частной постановке ответ не ясен. Если базисной системой является система состоящая из функций , то не будет ли множество состоять из -реализуемых функций? Другими словами, не является ли система алгоритмически полная в смысле, указанном в гл. 3, 12, полной и в некотором другом смысле — в смысле возможности построения нормальных функций -реализуемых

чертежей? Вполне возможно, что и на этот вопрос будет дан отрицательный ответ. Тогда возникает новый вопрос: существуют ли базисные системы функций, полные в смысле возможности построения нормальных функций реализуемых чертежей?