4. Семейства гиперповерхностей, определяемые уравнениями вида ...

В гл. 3 было показано, что если и есть области, определяемые неравенствами то область

представляющая собой пересечение областей может быть определена с помощью неравенства

Очевидно, что гиперповерхности, принадлежащие еемейртву при располагаются внутри области а при вне этой области. Ниже рассматриваются некоторые свойства гиперповерхностей, принадлежащих семейству При этом предполагается, что функции определены и непрерывны вместе с частными производными первого порядка всюду в пространстве аргументов

Области, определяемые неравенствами обозначим соответственно. При вместо будет

Как было сказано выше, область представляет собой пересечение областей и В то же время область (при уже собственно не является пересечением областей Исключение составляет случай, когда Рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Область является пересечением областей (или пустым множеством, если области не пересекаются).

Доказательство. Пересечение областей может быть задано с помощью предиката

На основании формулы (5.5), в которой для простоты полагаем предикат (5.6 эквивалентен предикату

Воспользовавшись правилом де Моргана для -функций (гл. 2, 8), формулу (5.7) приведем к виду

На основании формулы (4.38) формулу (5.8) можно переписать так:

Но область также определяется предикатом (5.9). Следовательно,

Пример 1. Семейства являются семействами концентрических окружностей, изображенных на рис. 37 штриховой линией. Семейство изображено в виде сплошных линий.

Рис. 37.

Рассмотрим теперь случай, когда Кроме того, предположим вначале, что . Выясним, как располагаются семейства гиперповерхностей по отношению к семейству

Теорема 2. Область является частью области .

Доказательство. Неравенства

определяют одну и ту же область представляющую пересечение областей Покажем сначала, что всюду в области выполняется неравенство

В самом деле, это неравенство можно привести к виду

справедливость которого при не вызывает сомнений. Таким образом, в точках гиперповерхности функция принимает значения большие или равные С. Следовательно, эти точки лежат внутри области что доказывает принадлежность области к области

Теорема 2 может быть усилена.

Теорема 3. Область является частью области

Доказательство будем вести от противного. Предположим, что область не является частью области Тогда область определяемая логической формулой

имеет внутренние точки. Так как области и определяются соответственно неравенствами

то область может быть задана предикатом

Следовательно, внутри области выполняется неравенство

Это неравенство можно привести к виду

Пусть

Так как в области то

Так как в области выполняется неравенство

то из формулы (5.20) следует, что причем, во внутренних точках области выполняется строгое неравенство.

Умножив и разделив левую часть неравенства (5.18) на получим

После некоторых преобразований можно записать:

Так как на границе области достигается равенство то внутри области найдутся точки, в которых выполняется неравенство

Из формулы (5.23) следует, что в этих точках что противоречит неравенству (5.18). Таким образом, предположение, что область не является частью области приводит к противоречию. На рис. 38 схематично показано взаимное расположение областей Для удобства обозначим

Таким образом, если заданы семейства областей определяемые неравенствами соответственно, которые при включают заданные области то можно, варьируя параметр получать различные семейства гиперповерхностей, включающие при пересечение областей и Наиболее простой вид имеет семейство, соответствующее значению семейство определяемое неравенством

Рис. 38.

Гиперповерхности, принадлежащие семейству состоят из кусков гиперповерхностей, принадлежащих семействам и являются границами областей, полученных в результате пересечения областей Если же то гиперповерхности оказываются внутри гиперповерхностей и даже внутри гиперповерхностей

Это означает, что уменьшение параметра а производит стягивающее воздействие на гиперповерхности Однако, при этом гиперповерхность остается неизменной.

Функции можно поставить в соответствие гиперповерхность -мерном пространстве переменных которая пересекается с -мерным пространством переменных по гиперповерхности представляющей собой границу области каково бы ни было значение параметра а, заключенного в пределах При уменьшении параметра а от 1 до — 1 точки гиперповерхности расположенные над гиперплоскостью приближаются к этой гиперплоскости и при сливаются с нею (рис. 39, а). Взаимное расположение

гиперповерхностей показано на рис. 39, б.

Рассмотрим случай, когда Пусть есть множество точек, определяемое предикатом

(В двумерном случае состоит из точек пересечения линий в трехмерном случае это совокупность линий пересечения поверхностей д.).

Рис. 39.

Теорема 4. Каково бы ни было множество точек принадлежит гиперповерхности .

Доказательство. Пусть есть какая-либо точка, принадлежащая множеству и в этой точке

Тогда т. е. координаты точки удовлетворяют уравнению

Множество точек вполне определяется заданием функций и параметра и не зависит от параметра а. Поэтому гиперповерхности построенные для различных значений параметра а при фиксированном значении С, составляют пучок гиперповерхностей, проходящих через

Разобьем внешность области на две части согласно предикатным формулам

Очевидно, что граница между областями состоит из точек, принадлежащих множествам при Оказывается, что гиперповерхности, принадлежащие семейству по-разному располагаются в областях по отношению к семейству построенному из кусков гиперповерхностей, принадлежащих семействам

Теорема 5. Если есть области, определяемые предикатами

Другими словами, та часть области , которая принадлежит области является частью области , принадлежащей

Доказательство. Предположим противное, т. е. что Пусть есть область, представляющая пересечение области с внешностью области Область может быть задана с помощью предиката который в силу формул (5.29) и (5.30) может быть записан в виде

или

Согласно предположению, что в области найдется по крайней мере одна внутренняя точка, в которой будет выполняться неравенство

Это неравенство можно привести к виду:

Однако, если что необходимо для выполнения неравенства (5.34), то

и, следовательно, что приводит к противоречию.

Теорема 6. Если ( есть области, определяемые предикатами:

где то Другими словами та часть области которая принадлежит области включает ту часть области которая принадлежит

Рис. 40.

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 5.

Характер расположения гиперповерхностей семейства показан на рис. 40. Семейство отмечено штриховыми линиями.

Выясним некоторые дифференциальные свойства семейств вида

Теорема 7. Если есть функции, всюду определенные и непрерывные вместе с частными производными первого порядка, то функция всюду, за исключением может быть точек, где определена и непрерывна вместе с частными производными

Доказательство. Производную направлению I от функции можно найти по формуле

Выражение (5.39) определено и непрерывно всюду, за исключением точек, где Отсюда следует непрерывность частных производных (5.38).

Из формулы (5.39) также следует, что производная взятая по любому направлению, может обратиться в нуль лишь в случаях, если:

где

Легко убедиться в том, что случаи а) и б) могут быть лишь на границе области , т. е. при Условие в) означает совпадение стационарных точек функций что в большинстве случаев может рассматриваться, как редкое исключение.

Пусть есть точка пространства, в которой выполняется условие г), т. е.

Так как функция предполагается дифференцируемой, то найдется такое направление производная по которому от этой функции равна нулю. Тогда производная функции по этому же направлению также равна нулю. Направления, по которым производная данной

функции равна нулю, есть направления, расположенные в касательной гиперплоскости к гиперповерхности Следовательно, в точке гиперповерхности имеют общую касательную гиперплоскость. Совпадение касательной гиперплоскости является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы (по любому направлению). Кроме этого, должно быть выполнено определенное соотношение, вытекающее из формулы (5.41), между «густотой» линий уровня семейств в окрестности точки В примере 1 было рассмотрено два семейства концентрических окружностей (рис. 37). Условие совпадения касательных выполняется во всех точках оси абсцисс, однако условие (5.41) выполняется лишь в начале координат, где

Приведенные выше соображения необходимо учитывать, применяя методы оптимального поиска.

В гл. 2. 10 было показано, что если есть всюду определенные и дважды дифференцируемые функции и в любой точке каково бы ни было направление то Легко убедиться в том, что если в любой точке каково бы ни было направление то области, определяемые неравенствами где С — произвольная постоянная, заключенная между наибольшим и наименьшим значениями функции, являются выпуклыми. Таким образом, в результате применения операции Д-конъюнкции, два семейства выпуклых областей порождают новое выпуклое семейство областей

Пример 2. Множество допустимых решений в задаче линейного программирования определяется системой неравенств

Так как то

Следовательно, семейство где

состоит из выпуклых гиперповерхностей.