ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЧЕРТЕЖА

1. Области Дирихле

Пусть есть некоторые фиксированные точки плоскости которые назовем базисными. Разобьем плоскость на областей, придерживаясь следующего правила. К i-ой области отнесем те точки плоскости, расстояние которых от точки меньше ее расстояния от точек

Полученную область называют областью Дирихле точки Задача о разбиении плоскости на области Дирихле состоит в отыскании границ областей Дирихле.

Рис. 21.

В простейшем случае, когда дано лишь две точки областями Дирихле являются полуплоскости (рис. 21, а). Разделяющая их прямая перпендикулярна к отрезку и проходит через его середину. Если дано три точки (рис. 21, б), то области Дирихле имеют форму секторов круга бесконечного радиуса, центр которого совпадает с центром описанной вокруг треугольника окружности.

С увеличением числа точек построение областей Дирихле усложняется. Пусть есть координаты базисной точки Точка будет принадлежать к области Дирихле точки если одновременно выполняются неравенства

Легко убедиться в том, что система (4.1) является системой линейных неравенств и приводится к виду

Каждому из неравенств (4.2) соответствует некоторая полуплоскость. Если есть область, определяемая неравенством то область Дирихле соответствующая точке будет определяться логической формулой

Тогда уравнение границы области можно написать в виде

(для простоты здесь использована -конъюнкция но в принципе можно было бы взять операцию или даже если бы предъявлялись требования -кратной дифференцируемости функции Заметим, что каждая область Дирихле, являясь пересечением полуплоскостей, представляет собой выпуклую область.

Возникает вопрос об областях Дирихле, в случае, когда базисных точек бесконечно много, (например, если эти точки составляют чертеж). В этом случае задача может быть сформулирована следующим образом.

Дан чертеж и произвольная точка принадлежащая этому чертежу. Требуется выделить множество точек на плоскости расстояние которых от точки меньше их расстояния от других точек чертежа.

Пример 1. Найдем области Дирихле точек принадлежащих чертежу (рис. 22).

Точке соответствует область ограниченная прямыми а точке область ограниченная прямыми и Точке соответствует луч исходящий из точки Точке соответствует луч исходящий из расстояние которой от отрезка равно расстоянию от точки Область Дирихле, соответствующая точке состоит из одной точки

Рис. 22.

Таким образом, области Дирихле точек чертежа могут иметь различную размерность. Так, область Дирихле, соответствующая точке имеет размерность нуль, области Дирихле, соответствующие точкам имеет, размерность единицу, а области Дирихле, соответствующие точкам имеют размерность два. Легко видеть, что размерность области Дирихле данной точки чертежа до некоторой степени характеризует положение чертежа в окрестности этой точки. Так, если размерность области Дирихле равна двум, то соответствующая точка является угловой точкой чертежа; если размерность равна нулю, то в данной точке сходятся не меньше трех линий чертежа и т. д.

Введем понятие расстояния от точки до чертежа.

Определение 1. Расстоянием отточки до чертежа является величина

Другими словами, есть кратчайшее расстояние от точки до чертежа

Так как чертеж представляет собой замкнутое множество, то найдется по крайней мере одна точка, принадлежащая чертежу, расстояние которой от точки равно

Определение 2. Точки чертежа расстояние которых от данной точки равно называются точками противостояния, соответствующими точке

Очевидно, что совокупность точек плоскости, которым соответствует одна и та же точка противостояния образуют область Дирихле точки

Рис. 23.

Определение 3. Точки, которым соответствует только одна точка противостояния, назовем точками Дирихле, а точки, которым соответствует не меньше двух точек противостояния — точками раздела. Совокупность точек раздела будем называть линией раздела.

Пример 2. Пусть чертеж представляет собой дугу окружности, изображенную на рис. 23, а. Легко убедиться, что линией раздела этого чертежа является положительная ось абсцисс.

Пример 3. Линия раздела для прямоугольника на рис. 23, б - штриховая.