6. Уравнение границы произвольной области

Перейдем к рассмотрению общей задачи, сформулированной в гл. 3, 3.

Теорема 1. Если области определяются Соответственно неравенствами

а логика построения области задана булевой функцией то неравенство

где -функция, соответствующая булевой функции определяет область

Доказательство. Так как является -функцией, соответствующей булевой функции то

Следовательно, предикат

принимает значение истинности в точках области определяемой логической формулой и значение ложности вне этой области.

Рассмотрим некоторые следствия доказанной теоремы. Предположим, что дана некоторая система базисных функций

с помощью которой в соответствии с правилами вывода (правилами построения сложных функций) строится множество (множество -реализуемых функций). Предположим, что функции являются -реализуемыми, т. е. могут быть построены с помощью функций (3.50) как сложные функции (с использованием произвольных постоянных). В гл. 2, 6 было показано, что система функций хуау, х является полной по отношению к классу -функций. Другими словами, с помощью этих функций можно построить по крайней мере одну функцию из каждой ветви класса -функций. Тогда если дополнить систему (3.50) функций Д-функциями то с помощью полученной системы функций всегда можно будет построить неравенство, определяющее область какова бы ни была булева функция определяющая построения области Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема 2.. Если функции являются -реализуемыми, то какова бы ни была логика построения области с помощью областей определяемых неравенствами (3.46), левая часть неравенства (3.47) может быть построена с помощью следующей системы функций:

Заметим, что из системы (3.51) можно исключить -конъюкцию или -дизъюнкцию так как оставшаяся система будет полной по отношению к классу -функций. Однако на практике удобнее пользоваться -конъюнкцией и Д-дизъюнкцией одновременно. Вместо функций в систему (3.51) можно

включить любую другую полную по отношению к классу R-функций систему функций. Этот вопрос, но несколько с других позиций, рассматривается в гл. 3, 12.

Пример 1. Пусть требуется написать уравнение границы области изображенной на рис. 10, а.

Область можно построить с помощью следующих областей: а) полуплоскости определяемой неравенством кольца с центром в точке (0,1), внутренним радиусом и внешним радиусом прямоугольника с вершинами в точках (рис. 10, б). Логика построения области определяется формулой

Рис. 10.

Неравенства

определяют соответственно кольцо и прямоугольник На основании теоремы 1 область будет определяться неравенством

Раскрывая неравенство (3.55), получим уравнение границы области в виде

Пример 2. Пусть нужно написать уравнение границы области заштрихованной на рис. 11.

Область можно построить, взяв в качестве исходных следующие области: а) полосу определяемую неравенством полосу определяемую неравенством квадрат с вершинами в точках для которого, согласно равенству (3.15), получим неравенство

Для того чтобы построить булеву функцию, соответствующую заштрихованной области, в каждом из квадратов выбираем по произвольной точке.

Рис. 11.

Таблица 9

Пусть это будут, например, точки и О соответственно. Принадлежность или непринадлежность точек и О областям определяется из табл. 9. Таким образом, имеется только два различных набора 0, 0,1 и 1,1, 1 двоичных переменных которым соответствует значение истинности булевой функции определяющей принадлежность точек к области Следовательно, согласно формуле (1.18), булева функция может быть записана в виде

Вынося за скобки, получим

Так как

Учитывая, что в качестве -функции, соответствующей рации равнозначности , можно взять произведение на основании теоремы 1 получим следующее неравенство, опреде лающее область

или

После некоторых упрощений получим следующее уравненце границы области

Теорема 3, Если функции (3.50), составляющие систему базисных функций, имеют непрерывные частные производные до порядка включительно, а функции являются -реализуемыми, то какова бы ни была логика построения области при использовании областей определяемых неравенствами (3.46), с помощью системы функций

может быть построено неравенство определяющее область где функция, имеющая непрерывные частные производные до порядка включительно.

Доказательство. Всякая функция, построенная с помощью функций, имеющих непрерывные частные производные до порядка включительно, также имеет непрерывные частные производные до порядка включительно. Система функций является полной по отношению к классу -функций. Следовательно, какова бы ни была булева функция определяющая логику построения области с помощью областей можно построить соответствующую ей -функцию имеющую непрерывные частные производные до порядка включительно. Тогда, если вместо подставить соответственно, получим функцию удовлетворяющую условиям теоремы 3.

Пример 3. Построить функцию имеющую непрерывные настные произведения до второго порядка включительно и такую, что неравенство определяет область заштрихованную на рис. 12, а

Область может быть построена с помощью областей и (рис. 12, б) согласно формуле

Области определяются неравенствами

Рис. 12.

Учитывая, что операции равнозначности соответствует операция умножения, получим следующее уравнение границы области

Если, воспользовавшись формулой (2.68), исключить операцию получим весьма громоздкое выражение. Аналогичное явление можно наблюдать и при рассмотрении других сколько-нибудь сложных примеров.

В математике, наряду с арифметическими операциями: сложением, вычитанием, умножением и делением, введены также функции и другие,

которые обычно называются основными элементарными функциями. Кроме того, вводится ряд специальных функций: шаровые функции, функции Бесселя, Матье и т. д. По мере развития математики и ее приложений число таких функций возрастает. При этом, никем не декретируется то, какую функцию принять для обращения, а какую не принимать. Происходит как бы естественный отбор функций в зависимости от того, насколько они нужны математикам или практикам, насколько удобно их использование и широк круг задач, где они могут найти применение. Таким образом, граница принятых в обиходе функций подвижна — по мере развития математики она расширяется.

Если, отодвинув дальше эту границу, включить в обиход Д-конъюнкцию и -дизъюнкцию то уравнения, описывающие сложные геометрические объекты, значительно упростятся. Кстати, функции являются элементарными функциями и их машинная реализация (в частности, составление таблиц или программ) не вызывает затруднений.

Пример 4. Пусть требуется написать уравнение границы области изображенной на рис. 13, а. Область построена с помощью следующих областей (рис. 13, б): а) круга с центром в точке и радиусом круга с центром в точке и радиусом круга с центром в точке и радиусом круга с центром и радиусом круга с центром радиусом полосы заключенной между верти» кальными прямыми полосы заключенной между прямыми Логика построения области определяется булевой функцией

Области определяются неравенствами

Следовательно, уравнение границы области можно написать в виде

Рис. 13.