5. Нагруженный чертеж

Перейдем к вопросу о построении функции удовлетворяющей на границе области граничному условию (7.13).

Пусть в точках некоторого чертежа задана функция Такой чертеж будем называть нагруженным, а функцию нагружающей функцией. Предположим, что чертеж является -реализуемым чертежом, где есть алгоритмически полная система функций:

Понятие алгоритмической полноты системы функций введено в гл. 3, 12. Предположим также, что чертеж

может быть разбит на такие элементы что на каждом из них функция может быть представлена в виде единого аналитического выражения

Функции будем предполагать -реализуемыми, где есть система функций

Так как чертеж и все его элементы (как и вообще всякий чертеж) являются замкнутыми множествами, то некоторые точки чертежа могут оказаться принадлежащими нескольким элементам одновременно. Точки элемента принадлежащие одновременно другим элементам чертежа будем называть концевыми точками элемента

В гл. 3, 12 было показано, что всякий элемент -реализуемого чертежа является также -реализуемым чертежом. Пусть — уравнения элементов соответственно. Тогда функция

будет равна единице в точках элемента и равна нулю в остальных точках чертежа Исключение составляют концевые точки элемента в которых функция определяемая формулой (7.40), не определена. Условимся доопределять эту функцию в концевых точках элемента ( значениями, равными единице.

Функция удовлетворяющая граничным условиям (7.13), может быть представлена в виде

Так как. функции и являются -реализуемыми, а функции

-реализуемыми, то функция может быть построена с помощью следующей системы функций

Рис. 68.

Пример 1. Область есть объединение кругов определяемых неравенствами

На участке границы (рис. 68) задана функция а на участке — функция Тогда функция нагружающая контур области указанным образом, может быть записана в виде

Пример 2. Область есть круг . На правой половине его границы задана функция , а на левой — функция Так как уравнения правой и левой полуокружностей можно записать соответственно в виде: то функция может быть представлена в виде

Все сказанное выше относительно построения функций и без каких-либо существенных изменений может быть перенесено на случай трехмерного пространства и пространств большей размерности.