3. Свойства нормальных функций

Прежде всего заметим, что нормальная функция любого чертежа определена, непрерывна и неотрицательна всюду на плоскости . О дифференцируемости нормальной функции можно узнать, рассмотрев следующую теорему.

Рис. 25.

Теорема 1. Если точка может быть окружена окрестностью, не содержащей как точек чертежа, так и точек его раздела, то в точке нормальная функция дифференцируема.

Пусть произвольная точка, удовлетворяющая условиям теоремы, а соответствующая ей точка противостояния (рис. 25). Точку согласно условиям теоремы, можно окружить -окрестностью, состоящей из точек Дирихле. Из точки в произвольном направлении проведем луч I и на этом луче возьмем точку принадлежащую -окрестности точки Пусть Обозначим точку противостояния, соответствующую точке Так как

то внутри окружности радиуса с центром в точке нет тачек данного чертежа Следовательно, отрезок пересекается с указанной окружностью в некоторой точке и имеют место неравенства

При стремлении точки к точка стремится к так как в противном случае точка оказалась бы точкой раздела. Поэтому угол стремится к нулю при Из треугольника находим

где

Аналогично, из треугольника получим

Тогда неравенства (4.21) приобретают вид:

Из каждой части последних неравенств вычтем величину

где нормальная функция чертежа; а затем каждую часть неравенств разделим на

где значение нормальной функции в точке При крайние члены этих неравенств стремятся к поэтому

Величина есть непрерывная функция точки поэтому есть также непрерывная функция

(каково бы ни было направление Следовательно, нормальная функция дифференцируема в точке

Пусть есть подвижная система координат, имеющая начало в точке и наклоненная по отношению к неподвижной системе координат под углом а (рис. 26).

Рис. 26

Координаты х, у точки относительно неподвижной системы связаны с координатами у той же точки относительно подвижной системы соотношениями:

Пусть есть нормальная функция чертежа относительно неподвижной системы координат, а нормальная функция того же чертежа относительно подвижной системы координат.

Рис. 27.

Теорема 2. Имеет место тождество

Справедливость его следует из инвариантности расстояния между точкими относительно преобразований переноса и поворота.

Пусть есть нормальная функция чертежа Легко убедиться в том, что уравнение есть уравнение чертежа подобного чертежу (рис. 27). При этом, центром подобия является начало координат, а параметр является коэффициентом подобия.

Размеры чертежа обратно пропорциональны величине .

Пусть в результате преобразования подобия точка переходит в точку а соответствующая ей точка противостояния в точку Нормальная функция чертежа будет принимать в точке значение, равное Учитывая, что приходим к следующей теореме.

Теорема 3. Нормальная функция чертежа полученного из чертежа в результате преобразования подобия с началом координат в качестве центра подобия и коэффициентом подобия , имеет вид

где нормальная функция чертежа