5. Объединение областей

Результаты настоящего параграфа аналогичны результатам гл. 3, 4.

Теорема 1. Если области определяются соответственно неравенствами функция есть R-функция, соответствующая дизъюнкции то область представляющая собой объединение областей и определяется неравенством

Пример 1. Область есть прямоугольник с вершинами в точках а область круг (рис 8, а).

Согласно формуле (3.15), прямоугольник определяется неравенством

Тогда область представляющую собой объединение областей (рис. 8, б), можно определить неравенством

Принимая для простоты получим

или

Рис. 8.

Теорема 2. Если функции и имеют непрерывные частные производные до порядка включительно, то функция

также имеет непрерывные частные производные до порядка включительно.

Теорема 3. Если области определяются соответственно неравенствами то область представляющая собой объединение областей определяется неравенством

Если функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно и необходимо, чтобы этим же свойством обладала левая часть неравенства определяющего объединение областей можно воспользоваться R-дизъюнкцией по формуле (3.36). В этом случае

Рис. 9.

Пример 2. Пусть требуется написать уравнение контура двутавра, изображенного на рис. 9, а.

Этот двутавр можно рассматривать как объединение прямоугольников . Координаты точек приведены в табл. 8.

Неравенство

согласно формуле (3.15) определяет прямоугольник со сторонами, равными 2а и 2Ь, параллельными соответственно осям абсцисс и ординат, и с центром в начале координат.

Таблица 8

Тогда неравенство

будет определять прямоугольник полученный в результате плоско-параллельного смещения прямоугольника и имеющий центр в точке Пользуясь неравенством (3.40),

построим неравенства, определяющие следующие прямоугольники:

Согласно теореме 2, сечение двутавра определяется неравенством

После некоторых преобразований получим следующее уравнение контура двутавра: