6. Нормальное уравнение отрезка

Рассмотрим вначале отрезок оси абсцисс. Пусть есть произвольная положительная константа. Рассмотрим линию расстояние точек которой от отрезка равно (рис. 29, а). Очевидно, что есть линия, состоящая из дуг и окружностей с центрами в точках и и отрезков и прямых, параллельных оси абсцисс, (рис. 29, б).

Пусть области, определяемые соответственно неравенствами

Область ограниченная линией определяется следующей логической формулой:

Тогда неравенство, определяющее эту область, может быть записано в виде

Согласно формулам (4.47), (4.48), (4.49) и (4.50), получим

Рис. 29.

На основании леммы 1 (гл. 4, 5) последнюю формулу преобразуем к виду

или

Тогда уравнение линии можно записать в виде

Положим, что Тогда уравнение (4.56) примет вид

Согласно лемме 2, решение этого уравнения определяется формулой (4.42). Следовательно,

Очевидно, что если то правая часть формулы (4.58) равна нулю за счет обращения в нуль множителя, стоящего перед квадратной скобкой. Поэтому можно положить, что Тогда формула (4.58) примет вид

Из этой формулы получим

Рис. 30.

Функция (4.60) является нормальной функцией отрезка так как при подстановке в нее координат какой-либо точки плоскости получим расстояние от этой точки до отрезка Полученную нормальную функцию можно написать в другой форме, не содержащей функции

Рассмотрим произвольный отрезок с концами в точках (рис. 30;

Согласно теореме 3 (гл. 4, 3) нормальное уравнение отрезка оси абсцисс запишется так:

Воспользовавшись формулами (4.27) преобразования координат, и учитывая, что

нормальное уравнение отрезка запишем в виде

Символ примем в качестве стандартного для обозначения нормальной функции отрезка с концами в точках

Пример 1. Пусть требуется написать нормальное уравнение отрезка оси абсцисс. Полагая в получим

Положительный множитель под знаком функции можно опустить, тогда получим

Пример 2. Устремляя в формуле к бесконечности, получим нормальное уравнение положительной полуоси абсцисс:

Пример 3. Напишем нормальное уравнение ломаной с вершинами в точках Воспользуемся обозначением для нормальной функции отрезка На основании теоремы 1 (гл. 4, 4) получим нормальное уравнение ломаной в виде

Подобным образом можно написать нормальное уравнение любого чертежа, состоящего из отрезков прямых.