9. R-функции и бесконечнозначная логика

В работе [20] рассматривает логику со значенйями истинности, пробегающими все действительные числа, заключенные между нулем и единицей.

В качестве простых высказываний (базисной системы булевых функций) выбираются импликация и отрицание Конъюнкция и дизъюнкция рассматриваются как сложные высказывания, определяемые так:

Высказываниям ставятся в соответствие значения их истинности соответственно, где величины, заключенные в пределах от нуля до единицы.

Значения истинности базисных высказываний и X определяются следующим образом:

1° импликация обладает значением истинности

2° отрицание X обладает значением истинности 1-х. Тогда, согласнр формуле (2.102) значение истинности дизъюнкции будет

Легко убедиться в том, что это выражение при тождественно равно

Значение истинности конъюнкции согласно уравнения (2.103), определяется формулой

Выражение (2.105) при равно

Таким образом

3° дизъюнкция обладает значением истинности

4° конъюнкция обладает значением истинности

Если задана произвольная булева функция то, приведя ее к дизъюнктивной (или конъюнктивной) нормальной форме и пользуясь свойствами можно найти соответствующее ей значение истинности Функция является непрерывной функцией внутри куба

Сделаем замену тогда получим значение истинности отрицания X

конъюнкции

дизъюнкции

Если уменьшить значения истинности в формулах (2.106)-(2.108) на получим значения истинности: отрицания , дизъюнкции и конъюнкции Таким образом, устанавливается связь между формулами бесконечнозначной логики и некоторыми -функциями.

При условии, что абсолютной истине соответствует значение истинности а абсолютной лжи соответствует — и приняв в качестве значений истинности для отрицания X величину для дизъюнкции величину для конъюнкции величину получим бесконечнозначную логику, сходную с той, которая рассматривается Р. Мак-Нотоном.