2. Ветви класса R-функций

Формула (2.5) каждой -функции ставит в соответствие определенную булеву функцию Существует бесчисленное множество различных -функций, которым соответствует одна и та же булева функция. Так как различных булевых функций аргументов всего то множество всех -функций разбивается на подмножеств которые называются ветвями класса -функциям, принадлежащим к одной ветви соответствует одна и та же булева функция. Справедливы теоремы:

Теорема 1. Если -функция принадлежит ветви 31, а произвольная функция, то также принадлежит ветви

Теорема 2. Сумма -функций, принадлежащих к одной ветви, есть -функция, принадлежащая той же ветви.

Следствие. Если есть -функции, принадлежащие ветви а произвольные положительные функции, то функция

является -функцией, принадлежащей той же ветви

Пример 1. Функции

принадлежат одной ветви, соответствующей операции равнозначности (т. е., положительны в 1-й и 3-й четвертях и отрицательны — во 2-й и 4-й). Следовательно, функция

принадлежит той же ветви.

Теорема 3. Если есть -функция, принадлежащая при ветви

а функция при положительна, то, если существует интеграл

где функция является -функцией, принадлежащей ветви

Действительно, пусть есть произвольная точка, принадлежащая области По условию теоремы функция сохраняет постоянный знак. Этот же знак имеет подынтегральное выражение, а следовательно, и функция

Пример 2. Легко убедиться в том, что функция

соответствует при операции отрицания равнозначности Тогда функция

соответствует той же операции.