2. Нормальное уравнение чертежа

Как уже отмечалось, один и тот же чертеж может иметь бесчисленное множество различных уравнений, что соответствует бесчисленному множеству поверхностей, которые могут пересекаться с плоскостью по данному чертежу. В каждой конкретной задаче, в которой

может понадобиться уравнение данного чертежа обычно всегда имеются какие-то дополнительные условия или соображения, позволяющие выбирать из этого множества то или иное уравнение.

В настоящем параграфе вводится понятие нормального уравнения, единственного для каждого чертежа. В последующих главах будут приведены примеры применения нормальных уравнений.

Определение 1. Уравнение называется нормальным уравнением чертежа если для любой точки плоскости имеет место равенство

Функция называется нормальной функцией чертежа

Термин «нормальное уравнение» выбран по аналогии с термином «нормальное уравнение прямой», которому соответствует следующая форма уравнения прямой

где длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, угол между осью абсцисс и этим перпендикуляром. Расстояние от произвольной точки до прямой можно найти по формуле

Следуя определению 1, нормальным уравнением прямой будем считать уравнение

которое с точностью до знака совпадает с уравнением (4.7). Легко также написать нормальное уравнение окружности с центром в точке и радиусом

В дальнейшем окажется полезным частный случай формулы (4.10), когда т. е. нормальное уравнение точки

Рассмотрим также задачу о построении нормального уравнения эллипса (рис. 24). Пусть есть произвольная точка плоскостй, а соответствующая ей точка противостояния. Угловой коэффициент касательной, проведенной к эллипсу в точке определяются по формуле

Следовательно, уравнение нормали

Рис. 24.

Координаты точки удовлетворяют также уравнению эллипса

Из уравнений (4.13) и (4.14) находим

где есть решение уравнения

Тогда расстояние от точки до эллипса определяется формулой

Следовательно, нормальное уравнение эллипса имеет вид

Входящая в это уравнение функция является тем действительным корнем уравнения (4.17), которому соответствует наименьшее значение

нормальной функции геометрических соображений следует, что уравнение (4.17) имеет всегда два действительных корня). Таким образом, задача построения нормального уравнения эллипса связана с решением (и исследованием решения) уравнения четвертой степени (4.17). Для таких линий, как, например, графики показательной, логарифмической и других функций, построение нормальных уравнений связано с решением трансцендентных уравнений. Однако, как будет показано ниже, несмотря на кажущуюся сложность, задача построения нормального уравнения практически может быть решена для всякого чертежа, который с заданной точностью аппроксимируется конечным числом дуг окружностей и отрезков прямых.