ГЛАВА ТРЕТЬЯ. МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Уравнение чертежа

Пусть есть функция, определенная и непрерывная всюду на плоскости Этой функции в пространстве соответствует некоторая поверхность Совокупность точек, общих для поверхности и плоскости (это множество может быть и пустым), будем называть чертежом, имеющим уравнение

Обычно в подобных случаях говорится о линии пересечения поверхности с плоскостью хотя вполне может случиться, что поверхность имеет с плоскостью элеменгы другой размерности, например, изолированные точки (размерность 0) или поверхностные элементы (размерность 2). Конечно, для таких классических объектов, как, например, кривые второго порядка, понятия «чертеж» и «линия» по существу совпадают, но в других случаях различие между содержанием этих понятий может оказаться весьма существенным.

Понятие чертеж включает в себя представление о чем-то более сложном, чем простая линия, хотя линия, в частности, есть чертеж, не говоря уже о том, что, как отмечалось выше, чертеж может включать элементы различной размерности.

Пример. Функция имеет вид

Легко убедиться в том, что уравнению при соответствует окружность радиуса с центром в начале координат. Поверхность является поверхностью вращения с осью аппликат в качестве оси симметрии. Осевое сечение этой поверхности имеет вид, изображенный на рис. 3, а, где

Если устремить к нулю, то поверхность, определяемая уравнением (3.1), будет деформироваться и при будет иметь вид, изображенный на рис. 3, б. В этом случае получим

Уравнению (3,2) удовлетворяют координаты всех точек круга радиуса 5 с центром в начале координат, включая границу круга.

Заметим, что такое явление может иметь место не только для кусочно-гладких поверхностей, каковой является поверхность, полученная по формуле (3.2), но для гладких поверхностей, причем функция может оказаться сколь угодно много раз дифференцируемой.

Рис. 3.

То, что уравнению вида может соответствовать не линия, а область, несколько непривычно, но это объясняется сравнительной редкостью подобных случаев на практике. Все же не будем исключать возможности и таких случаев. Заметим, что если в уравнении (3.1) устремить к нулю параметр 5, то получим поверхность

которая имеет с плоскостью единственную общую точку (начало координат).

Расширим понятие чертежа на многомерный случай.

Пусть есть функция, определенная и непрерывная в пространстве которой в -мерном пространстве соответствует гипер поверхность Чертежом в пространстве назовем множество точек, общих у этого пространства и гиперповерхности Уравнение будем называть уравнением чертежа Очевидно, что чертеж может включать элементы различной размерности (от размерности, равной нулю, до размерности, равной

В дальнейшем, с целью упрощения выкладок, в основном будет рассматриваться двумерный случай. Возможность применения полученных результатов к пространствам других размерностей будет показана на примерах.