5. Некоторые вспомогательные соотношения
Лемма 1. Справедливы тождества
В самом деле
Аналогично проверяется справедливость формулы (4,39). Формулы (4.38) и (4.39) являются обобщением свойств 4° и 5° в гл. 2, 8 (правил де Моргана) и выражают относительность выбора нулевой точки при разбиении множества действительных чисел на классы положительных и отрицательных чисел. Можно было бы к одному классу относить числа, большие а, а к другому — меньшие чем а.
Лемма 2. Уравнение
имеет решение
где
Доказательство. Предположим вначале, что 
Тогда: а) при 
по формуле (4 42) получим, что 
Подставив 
в левую часть уравнения (4.41), запишем
На основании свойства 8° (гл. 2,8) получим, что 
Тогда выражение (4 44) принимает вид 
Последнее выражение равно нулю на основании свойства 9 (гл. 2, 8);
б) при 
по формуле (4.42) находим, что 
Тогда левая часть уравнения (4.41) будет иметь вид
Выражение (4 45) согласно 8° и 9° (гл. 2) равно нулю;
в) при 
из (4.42) находим: 
Так как
Пусть теперь 
Тогда 
и приходим к равенству 
В заключение заметим, что а и 
, входящие в формулу 
являются величинами, принадлежащими полуинтервалу 
