ГЛАВА ПЕРВАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

1. Машинный способ задания функции и построение функций

Понятие функциональной зависимости является одним из основных в математике. В нем отражен колоссальный опыт человечества по изучению количественных отношений реального мира.

Современное понятие функциональной зависимости основывается на идее о соответствии между элементами двух множеств. Предположим, что есть эти множества. Если имеется некоторое правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный элемент , то говорят, что правило определяет у как функцию от х.

Множество значений аргумента называют областью определения функции. Те элементы множества которые ставились в соответствие элементам множества составляет множество значений функции.

Элементы множеств и могут быть любой породы. Например, может быть множеством абонентов, — множеством номеров телефонов, а телефонная книжка — таблица, задающая функцию. Однако, чаще всего и — это числовые или векторные множества. Если, например, есть множество -мерных векторов — числовое множество, то есть функция переменных т. е.

Функция считается заданной, если задано правило, устанавливающее соответствие между элементами множеств Классическими являются табличный, графический и аналитический способы задания функций.

В наше время широко распространены различные технические устройства (функциональные

преобразователи, вычислительные машины и т. п.), автоматически реализующие соответствие между значениями аргументов и значениями функции.

Задание функций с помощью технических средств назовем машинным способом задания функций. Таблицы и графики рассматриваются как простейшие технические устройства, а табличный и графический способы — как частные случаи машинного задания функций. При этом нас будет интересовать не способ технической реализации машинно-задаваемой функции, а лишь сама функция.

В дальнейшем рассматриваются только действительные функции действительных аргументов.

Рис. 1.

Представим машинно-заданную функцию в виде некоторого функционального преобразователя, имеющего входов и один выход. Сигналы, которые поступают на входы функционального преобразователя и снимаются с его выхода, могут быть физически реализованы по-разному. Однако, всегда устанавливается взаимно-однозначное соответствие между уровнями этих сигналов и значениями соответствующих переменных. Предположив, что это соответствие устанавливается автоматически самим устройством, можно считать, что на входы функционального преобразователя подаются действительные числа а на выходе появляется действительное число

Построение сложных функций с помощью базисных операций можно поставить в соответствие построению функциональных преобразователей при надлежащем соединении функциональных преобразователей, реализующих базисные операции. Например, располагая функциональными преобразователями, реализующими операции сложения и умножения (рис. 1, а), можно построить

функциональный преобразователь, реализующий функцию

Сбединение функциональных преобразователей не может производиться произвольно. Прежде всего должно быть выполнено следующее условие. Если выход некоторого функционального преобразователи имеет множество состояний , а вход функционального преобразователя В, с которым он соединяется, может воспринимать сигналы из множества то желательно, чтобы так как в противном случае некоторые выходные сигналы функционального преобразователя А будут «не поняты» входом функционального преобразователя В.

Задача построения функциональных преобразователей существенно упрощается, если на входы всех простейших функциональных преобразователей можно подавать дюбые величины из некоторого множества а множества их выходных сигналов являются подмножествами множества Системы функциональных преобразователей и соответствующие им системы функций, удовлетворяющие этому условию, назовем правильными.

В дальнейшем рассматриваются только правильные системы функций.

Построение функций с помощью системы базисных функций (операций) должно производиться в соответствии с некоторыми правилами вывода Базисные функции и функции, которые могут быть построены с их помощью согласно правилам вывода П, назовем Нереализуемыми, а множество всех -реализуемых функций обозначим

В настоящей работе исполняются следующие правила вывода.

1. Правила (суперпозиции):

а) постоянные, принадлежащие множеству произвольные буквы, рассматриваемые как независимые переменные, пробегающие множество а также все базисные функции включаются в множество

то

Пример 1. Пусть базисные операции. Тогда есть множество целых рациональных функций любого числа аргументов.

1. Правила (правила построения линейных комбинаций):

а) если реализуемая функция, произвольная постоянная, принадлежащая множеству то есть реализуемая функция;

б) если реализуемые функции, то тоже реализуемая функция.

Пример 2. Пусть система базисных функций имеет вид

Тогда есть множество полиномов Фурье.