10. Уравнение области

В гл. 3, 1 отмечалось, что элементами чертежа могут быть не только линии и их куски, но и отдельные области. В связи с этим возникает следующая задача. Пусть область определяется неравенством где -реализуемая функция, заданная базисная система функций Требуется построить такую функцию котороя бы обращалась в нуль в точках области и была бы отлична от нуля вне этой области. Может случиться, что среди -реализуемых функций такой функции не окажется. Тогда возникнет вопрос о некотором расширении базисной системы чтобы обеспечить построение функции

Область определяемую неравенством можно рассматривать как некоторую часть плоскости в трехмерном пространстве. В трехмерном пространстве неравенство определяет область представляющую собой бесконечный цилиндр с образующими, параллельными оси и пересекающую плоскость по области Возьмем в качестве уравнения плоскости уравнение Тогда, согласно

формуле (3.100), уравнение области рассматриваемой как разомкнутая (или вырожденная замкнутая) поверхность в трехмерном пространстве

Для того чтобы получить уравнение области на плоскости надо в (3.102) принять Тогда получим

Если функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно, то функция, стоящая в левой части формулы (3.103), также будет иметь непрерывные частные производные до порядка включительно.

Таким образом, для того чтобы можно было написать уравнение области достаточно прибавить к системе базисных функций функции Что касается функции участвующей в построении уравнения (3.103), то ее можно рассматривать как функцию, построенную с помощью умножения и извлечения квадратного корня согласно формуле

Рис. 19

Пример. Пусть требуется написать уравнение «шахматной доски» (рис. 19). Уравнению должны удовлетворять области всех зачерненных клеток, включая их границу, а также контуры шахматной доски.

Примем ширину клеток равной единице. В качестве исходных областей выберем области, определяемые неравенствами

Область представляет собой систему вертикальных полос, пересекающих ось абсцисс по системе отрезков Область система горизонтальных полос, пересекающих ось ординат по отрезкам

Область есть внутренность Квадрата соответствующего полю шахматной доски. Интересующая нас область может быть получена с помощью логической формулы

Так как , то формула примет вид

Тогда неравенство

определяет область Полагая в и опуская множитель , получим следующее уравнение «шахматной доски»: