ГЛАВА ВТОРАЯ. R-ФУНКЦИИ

1. Класс R-функций

При выполнении операций над обычными действительными переменными х, у, z необходимо учитывать их знаки. Во многих случаях знак результата операции вполне определяется знаками величин, над которыми операция производится. Например, знак произведения ху не зависит от модулей величин х и у, а зависит лишь от их знаков.

Знак переменной величины можно рассматривать как двоичную переменную. Можно, например считать, что знаку «плюс» соответствует значение истиндости (единица), а знаку «минус» — значение ложности (нуль). Тогда во многих случаях выполнению операций над действительными величинами будут соответствовать некоторые операции над двоичными величинами, т. е. булевы функции. В настоящем параграфе из множества функций действительных аргументов выделяется такой класс названный классом R-функций, для которого справедливо указанное соответствие.

Предположим, что нуль всегда снабжен каким-то знаком (плюс или минус) и, в соответствии с этим, относится к множеству положительных или отрицательных чисел (это предположение реализовано в электронных вычислительных машинах: знаковый разряд любого числа, в том числе и нуля, может находиться лишь в одном из двух состояний, соответствующих знакам плюс и минус).

В этом предположении любая действительная величина принадлежит классу либо положительных, либо отрицательных чисел. Принадлежность величины х к

одному из этих классов будем определять с помощью предиката который вводится так:

Заметим, что предикат связан с известной функцией

Точку n-мерного пространства назовем вырожденной, если хотя бы одна из ее координат равняется нулю и — в противном случае — не вырожденной. Вырожденная точка, у которой равна нулю координата лежит на координатной гиперплоскости Если равны нулю координаты то точка находится на пересечении координатных гиперплоскостей и т. д. Таким образом, множество всех вырожденных точек -мерного пространства представляет собой объединение гиперплоскостей которое можно рассматривать как единую гиперповерхность Легко убедиться в том, что гиперповерхность разбивает -мерное пространство на областей Действительно, каждой невырожденной точке соответствует определенный набор двоичных величин определяемых по формуле:

Так как различных наборов двоичных величин может быть то множество всех невырожденных точек разбивается на подмножеств. Точкам каждого из этих подмножеств соответствует один и тот же набор двоичных величин . В случае двумерного пространства (координатной плоскости) имеем четыре области (четверти); для трехмерного пространства — восемь областей (октантов) и т. д.

Определение. Пусть есть функция, определенная всюду в пространстве Назовем функцию -функцией, если в каждой из областей она сохраняет постоянный знак, т. е.

где двоичная величина одна и та же для всех точек области

Так как каждому набору двоичных переменных соответствует определенная область следовательно, и величина то получим некоторую булеву функцию такую, что выполняется равенство

Очевидно и обратное: если выполняется равенство (2.5), то функция есть -функция. Таким образом, выполнение условия (2.5) является необходимым и достаточным для того, чтобы функция была -функцией.

Пример 1. Функция является -фунцкцией, так как произведение сохраняет постоянный знак в каждой из четвертей. Соответствующая булева функция равна единице в первой и третьей четвертях, которым соответствуют двоичные наборы и равна нулю во второй и четвертой четвертях, которым соответствуют наборы

По табл. 2. (гл. 1) находим, что

т. е. произведению соответствует операция равнозначности.

Пример 2. Функция является -функцией, которой соответствует операция импликации Действительно, полагая получим

Выражение на интервале имеет два корня причем, на интервале 0, это выражение имеет знак а на интервале знак Следовательно, функция у положительна в первой, второй и третьей четвертях и отрицательна в четвертой четверти. Соответствующая булева функция равна единице для всех наборов, кроме набора т. е. является Импликацией