9. Уравнения разомкнутых линий и поверхностей

Рассмотрим задачу о построении уравнений разомкнутых линий (поверхностей или гиперповерхностей). Прежде всего заметим, что линия может рассматриваться как вырожденная область, и с этой точки зрения могут быть использованы результаты, приведенные в предыдущих параграфах.

Рис. 17.

Пусть, например, требуется написать уравнение той дуги кривой которая принадлежит области (рис. 17).

Линию, определяемую уравнением можно рассматривать, как пересечение областей Тогда дуга может рассматриваться как пересечение трех областей: Поэтому уравнение дуги может быть написано в виде

Заметим, что

Опуская множитель , получим уравнение дуги в виде

или

Ерли функция не отрицательная, то знак модуля в формулах (3.94) и (3.95) может быть опущен.

Пример 1. Пусть требуется написать уравнение отрезка оси Ох.

Этот отрезок можно рассматривать как пересечение оси абсцисс с вертикальной полосой Согласно формуле (3.94) уравнение отрезка будет иметь вид

или (при

Если взять уравнение оси абсцисс в виде то вместо уравнения (3.97) (если опустить множитель -у; получим уравнение

Сравнивая это уравнение с уравнением (3.16) прямоугольника со сторонами приходим к выводу, что уравнение (3.98) может быть получено из уравнения прямоугольника, если положить а устремить к нулю, т. е. уравнение отрезка оси может рассматриваться как вырожденное уравнение прямоугольника.

Рис. 18.

Пример 2. Пусть требуется написать уравнение квадратной пластинки со стороной лежащей в плоскости (рис. 18).

Пластинку можно рассматривать как пересечение плоскости с областью определяемой неравенством

Принимая уравнение плоскости в виде получим следующее уравнение пластинки

В некоторых приложениях необходимо для разомкнутых линий или поверхностей уметь строить уравнения вида где есть функция дифференцируемая заданное число раз. Решение этой задачи дает следующая теорема.

Теорема 1. Если всюду определенные функции, имеющие непрерывные частные производные до порядка включительно, то

есть уравнение той части кривой которая принадлежит области кроме того, функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно.

Пример 3. Напишем уравнение отрезка оси абсцисс с дважды дифференцируемой левой частью.

Уравнение оси возьмем в виде Как и в примере 1 будем рассматривать отрезок как пересечение оси абсцисс с полосой Тогда, согласно формуле (3.94) при получим

Заметим, что если функции являются -реализуемыми функциями, то функция является реализуемой функцией, где есть система функций, полученная добавлением к системе (если система Я этих функций не содержала) функций .