12. Выпуклая оболочка чертежа

Рассмотрим множество всевозможных открытых областей определяемых неравенствами вида: где линейные функции. Очевидно, это

будет множество всевозможных полуплоскостей. Пусть задан чертеж Исключим из множества те полуплоскости, которые не содержат целиком чертеж Пусть область есть пересечение оставшихся полуплоскостей. Так как области являются выпуклыми, то и их пересечение — область также является выпуклой областью. Границу области будем называть выпуклой оболочкой чертежа

Теорема 1. Верхняя нормальная функция всякого чертежа совпадает с верхней нормальной функцией его выпуклой оболочки.

В самом деле, если есть какая-либо точка плоскости, то ее точка верхнего противостояния лежит на границе круга радиуса внутри которого расположен чертеж Такой круг можно построить для каждой точки плоскости и всегда точка верхнего противостояния будет находиться на его границе. Таким образом, чертеж находится на пересечении этих всевозможных кругов, а точки верхнего противостояния, соответствующие всевозможным точкам плоскости — на границе пересечения кругов. Так как среди этих кругов находятся и круги сколь угодно большого радиуса (полуплоскости), то пересечение всевозможных кругов, охватывающих чертеж, является его выпуклой оболочкой. Следовательно, все точки чертежа которые могут выступать в роли точек верхнего противостояния для каких-то точек плоскости лежат на выпуклой оболочке чертежа.

Рис. 33.

Рассмотрим в качестве чертежа вйпуклую оболочку Предположим, что на ней/имеется некоторая точка которая является точкой верхнего противостояния для некоторой точки но не является точкой чертежа Очевидно, что чертеж должен располагаться (вместе с выпуклой оболочкой) внутри круга радиуса (рис. 33). Так как точка по предположению не является точкой чертежа то ее можно окружить некоторой окрестностью не содержащей точек чертежа Пусть есть точки пересечения границ областей и Прямая

ограничивает полуплоскость, покрывающую чертеж но точка оказывается вне этой полуплоскости и, следовательно, не принадлежит выпуклой оболочке чертежа, что противоречит исходному предположению.