7. Нормальное уравнение дуги окружности

Дугу окружности можно задать следующей строкой из пяти чисел: где начальная точка дуги, конец дуги, а угол между касательной к дуге в точке и хордой (рис. 31, а). Условимся считать угол положительным, если дуга окружности расположена по левую сторону от вектора Вначале рассмотрим дугу, изображенную на рис. 31, б.

Рис. 31.

Примем, что концы дуги находятся в точках и построим линию точки которой отстоят от заданной дуги на расстоянии Эта линия состоит из четырех дуг окружностей: и Область ограниченная линией может быть построена с помощью следующих областей:

а) области представляющей собой внутренность круга радиуса с центром в точке Эта область определяется неравенством

б) области представляющей собой внутренность круга радиуса с центром в точке Эта область определяется неравенством

в) области внутренности круга радиуса с центром в точке

г) области внутренности круга радиуса с центром в точке

д) области представляющей собой клинообразную область, ограниченную прямыми Область можно представить как пересечение полуплоскостей ограниченных этими прямыми, т. е. Так как области определяются неравенствами

то область определяется неравенством

Логика построения области ограниченной линией задается булевой функцией:

Следовательно, уравнение линии может быть записано в виде

Согласно неравенствам (4.69) и (4.70), находим

На основании леммы 1 (гл. 4, 5) получим

Согласно формулам (4.71) и (4.72) найдем

На основании леммы 1 (гл. 4, 5) получим

Таким образом, уравнение (4.77) может быть записано в виде

где

Обозначив уравнение (4.82) перепишем так:

Согласно лемме 2 (гл. 4, 5) это уравнение имеет решение:

следовательно

Учитывая, что выражение можно привести к виду:

и замечая, что выполняются неравенства

приходим к выводу, что Следовательно, формула (4.86) может быть переписана в виде

Выражение (4.90) представляет собой нормальную функцию дуги (рис. 31, б), так как при подстановке в нее координат какой-либо точки получаем расстояние от этой точки до дуги Воспользовавшись формулами (4.27) и (4.63), можем написать нормальное уравнение дуги окружности, произвольно расположенной на плоскости:

где величины х, определяются формулами

Символ примем в качестве стандартного символа для обозначения нормальной функции дуги окружности, имеющей начало в точке конец в точке и угол, который составляет касательная в точке с хордой равный 0. Легко убедиться в Справедливости следующего тождества:

т. е. если считать точку началом дуги, то следует изменить знак угла

Покажем, что при нормальная функция дуги окружности переходит в нормальную функцию хорды, т. е.

При получим

а величина от 0 не зависит. Поэтому

Нетрудно убедиться, что выражение (4.96) тождественно совпадает с выражением (4.62), хотя внешне отличается своей формой.