4. Пересечение областей

Пусть есть области, определяемые неравенствами соответственно. Рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Если есть -функция, соответствующая операции конъюнкции то область определяемая неравенством

есть пересечение областей

Доказательство. Так как функция является -функцией, соответствующей конъюнкции, то, согласно формуле (2.5),

что и требовалось доказать.

Рис. 6.

Пример 1. Пусть область есть полоса, определяемая неравенством а область полоса, определяемая неравенством (рис. 6).

Воспользуемся -конъюнкцией Тогда неравенство

определяет прямоугольник В раскрытом виде неравенство (3.13) можно записать:

В частности, при получим

Равенство в формуле (3.15) достигается лишь на границе прямоугольника поэтому уравнение

есть уравнение этого прямоугольника.

Неравенство (3.15) имеет более простой вид по сравнению с неравенством (3.14). Но, в то время, как левая часть неравенства (3.14) есть функция, дифференцируемая всюду, за исключением вершин прямоугольника

левая часть неравенства (3.15) не дифференцируема в точках гиперболы Во многих, задачах требование дифференцируемости может оказаться весьма существенным (некоторые такого рода примеры рассматриваются в последующих главах), и тогда приходится поступаться простотой формул и выбирать более сложные выражения.

Для того чтобы левая часть неравенства, определяющего прямоугольник имела всюду на плоскости непрерывные частные производные до порядка включительно, можно воспользоваться -функцией

Тогда получим

Для функции (3.17) введем обозначение

Из описанного выше следует справедливость теоремы 2.

Теорема 2. Если и функции, имеющие непрерывные частные производные до порядка включительно, то функция

также имеет непрерывные частные производные до порядка включительно.

Теорема 1 легко распространяется на случай, когда пересекается произвольное число областей.

Теорема 3. Если области определяются соответственно неравенствами то область представляющая собой пересечение областей определяется неравенством

где произвольные величины, заключенные в пределах

Формула (3.21) представляет своего рода свертку системы неравенств в одно неравенство с левой частью в виде единого аналитического выражения. Будем применять также сокращенную запись указанной свертки

Рис. 7.

Заметим, что при ассоциативный закон относительно операции Дане имеет места. Поэтому величина выражения (3.22) зависит, вообще говоря, от той последовательности, в которой производится свертка. И лишь при порядок свертки безразличен и скобки могут быть опущены.

Если функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно и необходимо, чтобы этим же свойством обладала левая часть неравенства определяющего пересечение областей можно воспользоваться -конъюнкцией и В этом случае

Пример 2. Написать уравнение границы области заданной неравенствами (рис. 7)

Положим для простоты Последовательно находим

Тогда уравнение границы области можно записать в виде

Заметим, что если изменить последовательность свертки, начиная, например, с последнего неравенства (снизу вверх), получим другую форму уравнения четырехугольника

Однако, на основании свойства 14° гл. 2, 8, левые части этих уравнений тождественно равны, хотя тождественные преобразования, переводящие одно выражение в другое, не слишком очевидны.