4. Булевы функции двух переменных
При
получим:
т. е. имеем шестнадцать различных булевых функций от двух переменных. Ввиду особой важности булевых функций двух переменных, для них приняты специальные обозначения, которые приведены в табл. 2.
Функция
(читается
или
называется дизъюнкцией или логическим сложением. Для дизъюнкции часто используется обозначение
Дизъюнкция равна 1, если хотя бы одна из величин
или
равна единице, и равна 0, если
есть истина тогда и только тогда, когда
есть истина или
есть истина).
Функция
равнозначно
называется равнозначностью или эквиваленцией. Она равна единице тогда и только тогда, когда
принимают одинаковые значения (утверждения: «ложь равнозначна лжи», «истина равнозначна истине» являются истинными; утверждения: «ложь равнозначна истине», «истина равнозначна лжи» — ложны).
Функция
(«если
то
или «из
следует
) называется импликацией. Импликация равна единице всегда, за исключением случая, когда
(утверждения: «из лжи
может следовать как ложь, так и истина», «из истины следует истина» являются истинными; утверждение: «из истины следует ложь» является ложью).
Функция
называется операцией Шеффера. Операция Шеффера
нулю только тогда, когда
и
равны 1.
Все остальные функции двух переменных могут быть получены в результате применения к уже рассмотренным функциям операции отрицания.
Из табл. 2 легко установить справедливость следующих равенств:
Это означает, что, располагая лишь верхней или нижней половиной табл. 2 и операцией отрицания (инверсии), можно построить вторую половину таблицы.
Таким образом, получим: функция
есть отрицание импликации
функция
(читается
не равнозначно
) - отрицание равнозначности
и т. д.
Располагая булевыми функциями двух переменных и правилами вывода
(правилами построения сложных функций), рассмотренными в гл. 1,1, можно строить булевы функции любого числа аргументов. При этом удобно пользоваться приведенными ниже свойствами булевых функций.