§ 8. Свойства аналитических функций

Класс аналитических функций весьма широк. Это видно, например, из следующей теоремы:

Если ряд из функций, аналитических в области сходится равномерно в этой области, то его сумма также является аналитической в функцией.

Степенные ряды. Рассмотрим, в частности, степенной ряд

Известно, что если он сходится в какой-либо точке то он сходится, и притом равномерно в любом круге где произвольное число, меньшее и что областью его сходимости всегда является некоторый круг Так как члены степенного ряда аналитичны во всей плоскости, то по цитированной теореме сумма такого ряда будет аналитической в круге его сходимости.

С другой стороны, можно доказать, что если некоторая функция аналитична в окрестности какой-либо точки , то в некотором круге с центром в этой точке она разлагается в сходящийся степенной ряд:

Таким образом, аналитичность функции в окрестности некоторой точки оказывается эквивалентной ее разложимости в степенной ряд с центром в этой точке.

Теории степенных рядов посвящено много исследований и она оказалась сильным аппаратом как для изучения свойств аналитических функций, так и для приближенного решения прикладных задач. Заметим, однако, что здесь речь идет о локальных свойствах и задачах, т. е. об изучении свойств функций в окрестности некоторой точки, — для глобального изучения

функций в областях, отличных от кругов, аппарат степенных рядов не годится.

Отметим несколько свойств аналитических функций, которые вытекают из их представимости степенными рядами. Во-первых, любой степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, поэтому аналитические функции обладают производными всех порядков. Отсюда следует, что разложения аналитических функций в степенной ряд совпадают с их разложениями по формуле Тейлора:

В частности, справедливы известные разложения элементарных функций

(первые три из них сходятся во всей плоскости, четвертое — лишь в круге , его сходимость лимитируется точкой в которой теряет аналитичность).

Далее отметим, что каждая не тождественно равная нулю аналитическая функция обращается в нуль как некоторая целая степень: если то найдется номер такой, что в окрестности точки а

где аналитиче: ская функция, не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности а (последнее вытекает из того, что , и из непрерывности функции Такое целое число называется порядком нуля функции в точке а.

Свойство открытости. Из формулы (5) вытекает, что непостоянная аналитическая функция каждую

внутреннюю точку ее области определения переводит во внутреннюю точку множества ее значений (в самом деле, в окрестности ведет себя, с точностью до малых высших порядков, как целая степень а целая степень обладает этим свойством). Последнее свойство называется свойством открытости отображения. Из него вытекает, что непостоянные аналитические отображения всегда преобразуют области в области.

Из условий аналитичности видно, что якобиан аналитического отображения

т. е. он равен квадрату модуля производной Следовательно, он всегда неотрицателен, а обращается в нуль лишь там, где По теореме о неявных функциях, известной из анализа, в точках, где якобиан отличен от 0, отображение локально взаимно однозначно. Как мы видели выше, в нулях производной локально ведет себя как целая степень Последние точки называются критическими точками отображения можно доказать, что множество таких точек изолировано в области аналитичности функции, т. е. не имеет предельных точек внутри этой области.

Описанное локальное поведение характеризует аналитические отображения. Можно доказать, что если некоторое непрерывное отображение локально взаимно однозначно в плоской области всюду, кроме изолированных точек, в которых оно имеет характер целой степени, то существует непрерывное и взаимно однозначное преобразование которое преобразует в аналитическую функцию. Отметим еще, что гиперболически аналитические отображения обладают в известном смысле противоположными свойствами. В самом деле, как видно из формул (15) предыдущего раздела, их якобиан может менять знак на характеристиках; даже простейшие из них не обладают свойством открытости (например, гиперболический квадрат преобразует внутреннюю точку в граничную точку

множества образов, ибо при этом отображении всегда

Простым следствием свойства открытости является важный принцип максимума модуля: если модуль аналитической в области функции достигает максимума во внутренней точке то эта функция постоянна. В самом деле, если функция непостоянна, то по этому свойству в окрестности любой точки а из она принимает все значения из некоторой окрестности точки в том числе и такие значения, модуль которых больше т. е. значение не может быть максимальным.

Интегрирование. Опишем теперь коротко теорию интегрирования аналитических функций. Понятие интеграла по кривой у. лежащей в комплексной плоскости, можно ввести для любой комплексной функции определенной на у. Для этого нужно разбить у на конечное число частей точками концы на каждом отрезке кривой у произвольно выбрать точку и взять предел суммы

в предположении, что все стремятся к нулю. Легко видеть, что если то этот интеграл выражается через криволинейные интегралы от действительных функций:

Как доказывается в анализе, эти интегралы существуют, если кривая у — кусочно гладкая, а функция непрерывна на ней.

Выясним специфику случая, когда кривая интегрирования лежит в области аналитичности функции. Для этого вспомним теорему из анализа, по которой криволинейный интеграл

от функций, непрерывно дифференцируемых в односвязной области не зависит от вида кривой у и полностью определяется ее концами в том и только том случае, когда подынтегральное выражение является точным дифференциалом, т. е. всюду в удовлетворяется условие

Но для первого из интегралов в правой части (7) это условие имеет вид т. е. совпадает со вторым условием аналитичности, а для второго и совпадает с первым условием аналитичности.

Таким образом, справедлива следующая основополагающая теорема Коши: если функция аналитична в односвязной области то интеграл от по любой кривой у, лежащей в зависит лишь от концов, но не от вида у, или, что эквивалентно, интеграл от по любому замкнутому контуру у, лежащему в равен нулю:

Заметим, что это свойство также характеризует аналитические функции: если некоторая функция непрерывна в области и ее интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в равен 0, то аналитична в

Непосредственным следствием теоремы Коши является возможность построения для аналитических функций понятия первообразной. В самом деле, если функция аналитична в односвязной области то по теореме Коши в определена функция

где а — произвольная фиксированная точка (интеграл не зависит от пути, поэтому мы не указываем кривой, по которой он берется). По элементарным

свойствам интегралов, которые вытекают прямо из определения (6), имеем

откуда видно, что существует производная Мы видим, что функция (9) оказалась аналитической в области и что ее производная равна подынтегральной функции. Функция F и называется первообразной функции

Доказывается, что две первообразные одной и той же функции в одной и той же области могут отличаться лишь постоянным слагаемым, а отсюда обычным образом вытекает формула Ньютона — Лейбница, выражающая интеграл через первообразную:

Физическая интерпретация. Описанные основные факты интегрального исчисления аналитических функций имеют прямую гидродинамическую интерпретацию. Пусть в односвязной области задано течение идеальной несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Как мы видим, величина, комплексно сопряженная скорости течения, выражается аналитической в функцией — производной комплексного потенциала:

Согласно формуле (7)

Здесь первый интеграл справа берется от скалярного произведения векторов (касательного вектора к кривой он равен сумме касательных составляющих вектора скорости:

Точно так же второй интеграл берется от скалярного произведения вектора V и вектора который получается из поворотом на 90° по часовой стрелке (рис. 17), т. е. вектора нормали к у; он равен сумме нормальных составляющих вектора Г:

Рис. 17.

Физически этот интеграл означает количество жидкости, протекающей за единицу времени через кривую у в направлении нормали так называемый расход жидкости.

Подынтегральные выражения в (12) и (13) равны, соответственно, дифференциалам потенциальной функции и функции тока:

поэтому интегралы равны приращениям этих функций, и (11) можно переписать в виде

где а и концы у. Мы получили физическую интерпретацию формулы Ньютона — Лейбница.

Пусть у — замкнутая кривая, лежащая в односвязной области течения с описанными выше свойствами. Теорема Коши, примененная к производной комплексного потенциала течения, сводится к утверждению, что для этой кривой

Первое из этих равенств выражает отсутствие циркуляции и показывает, что течение не является закрученным на у — положительные и отрицательные значения касательной составляющей скорости на у компенсируют

друг друга. Второе равенство выражает равенство нулю расхода на у, оно показывает, что секундное количество жидкости, втекающей в у, равно количеству жидкости, вытекающей из него. Такова физическая интерпретация теоремы Коши.

Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно — если область течения имеет дырку, как на рис. 18, то интеграл по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это физически очевидно: в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на у могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации внутри области величина интеграла не меняется. Мы проверим этот факт в его простейшей математической постановке: пусть область ограничена двумя кусочно гладкими кривыми которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание (так называется область вместе с ее границей); мы покажем, что в этих условиях

Рис. 18.

Для доказательства соединим гладкой линией Я, расположенной в и обозначим через односвязную область, которая получится, если удалить К из Граница состоит из кривой проходимой в отрицательном направлении, и кривой , проходимой дважды в противоположных направлениях (рис. 18). По теореме Коши интеграл по полной границе равен нулю, но по элементарным свойствам интегралов он равен

Последние два слагаемых сокращаются, и мы получаем формулу (16). Отметим, что формула (16) остается справедливой и тогда, когда аналитична лишь в области О (а не в более широкой области, как считалось выше), но непрерывно продолжается на границы

Простым следствием доказанного свойства является следующий фундаментальный факт, известный под названием интегральной формулы Коши: пусть функция аналитична в односвязной области ограниченной кусочно гладкой кривой и непрерывно продолжается на границу; тогда значение в любой точке области определяется через ее граничные значения по формуле

Подынтегральная функция (мы рассматриваем ее в зависимости от переменной при фиксированной аналитична не всюду в ибо знаменатель в ее выражении обращается в нуль в точке поэтому теорема Коши к ней неприменима. Но мы можем воспользоваться формулой (16), применив ее к области из которой исключен малый кружок с центром в точке радиуса По этой формуле

где окружность

Вводя на параметр , меняющийся от 0 до мы найдем, что на ней следовательно, интеграл в правой части (18)

В силу непрерывности на имеем где равномерно по стремится к 0 при поэтому предел этого интеграла при равен . С другой стороны, из (18) видно, что этот интеграл не зависит от и значит, он равен формула (17) доказана,

Интегральная формула Коши имеет богатые следствия, из которых мы укажем сейчас только одно. Возьмем произвольную точку в окрестности которой функция аналитична, и применим эту формулу к окружности радиуса с центром в Полагая на как и выше, , мы найдем

Эта формула показывает, что аналитические функции очень правильно устроены — их значение в каждой точке равно среднему арифметическому значению на достаточно малой окружности с центром в этой точке (теорема о среднем). Из нее можно снова получить принцип максимума модуля, о котором мы говорили выше.