Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 8. Свойства аналитических функцийКласс аналитических функций весьма широк. Это видно, например, из следующей теоремы: Если ряд из функций, аналитических в области Степенные ряды. Рассмотрим, в частности, степенной ряд
Известно, что если он сходится в какой-либо точке С другой стороны, можно доказать, что если некоторая функция
Таким образом, аналитичность функции в окрестности некоторой точки оказывается эквивалентной ее разложимости в степенной ряд с центром в этой точке. Теории степенных рядов посвящено много исследований и она оказалась сильным аппаратом как для изучения свойств аналитических функций, так и для приближенного решения прикладных задач. Заметим, однако, что здесь речь идет о локальных свойствах и задачах, т. е. об изучении свойств функций в окрестности некоторой точки, — для глобального изучения функций в областях, отличных от кругов, аппарат степенных рядов не годится. Отметим несколько свойств аналитических функций, которые вытекают из их представимости степенными рядами. Во-первых, любой степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, поэтому аналитические функции обладают производными всех порядков. Отсюда следует, что разложения аналитических функций в степенной ряд совпадают с их разложениями по формуле Тейлора:
В частности, справедливы известные разложения элементарных функций
(первые три из них сходятся во всей плоскости, четвертое — лишь в круге Далее отметим, что каждая не тождественно равная нулю аналитическая функция обращается в нуль как некоторая целая степень: если
где Свойство открытости. Из формулы (5) вытекает, что непостоянная аналитическая функция каждую внутреннюю точку ее области определения переводит во внутреннюю точку множества ее значений (в самом деле, Из условий аналитичности видно, что якобиан аналитического отображения
т. е. он равен квадрату модуля производной Описанное локальное поведение характеризует аналитические отображения. Можно доказать, что если некоторое непрерывное отображение множества образов, ибо при этом отображении всегда Простым следствием свойства открытости является важный принцип максимума модуля: если модуль аналитической в области Интегрирование. Опишем теперь коротко теорию интегрирования аналитических функций. Понятие интеграла по кривой у. лежащей в комплексной плоскости, можно ввести для любой комплексной функции
в предположении, что все
Как доказывается в анализе, эти интегралы существуют, если кривая у — кусочно гладкая, а функция Выясним специфику случая, когда кривая интегрирования лежит в области аналитичности функции. Для этого вспомним теорему из анализа, по которой криволинейный интеграл
от функций, непрерывно дифференцируемых в односвязной области
Но для первого из интегралов в правой части (7) это условие имеет вид Таким образом, справедлива следующая основополагающая теорема Коши: если функция
Заметим, что это свойство также характеризует аналитические функции: если некоторая функция Непосредственным следствием теоремы Коши является возможность построения для аналитических функций понятия первообразной. В самом деле, если функция
где а — произвольная фиксированная точка свойствам интегралов, которые вытекают прямо из определения (6), имеем
откуда видно, что существует производная Доказывается, что две первообразные одной и той же функции в одной и той же области могут отличаться лишь постоянным слагаемым, а отсюда обычным образом вытекает формула Ньютона — Лейбница, выражающая интеграл через первообразную:
Физическая интерпретация. Описанные основные факты интегрального исчисления аналитических функций имеют прямую гидродинамическую интерпретацию. Пусть в односвязной области
Согласно формуле (7)
Здесь первый интеграл справа берется от скалярного произведения векторов
Точно так же второй интеграл берется от скалярного произведения вектора V и вектора
Рис. 17. Физически этот интеграл означает количество жидкости, протекающей за единицу времени через кривую у в направлении нормали Подынтегральные выражения в (12) и (13) равны, соответственно, дифференциалам потенциальной функции и функции тока:
поэтому интегралы равны приращениям этих функций, и (11) можно переписать в виде
где а и Пусть у — замкнутая кривая, лежащая в односвязной области течения с описанными выше свойствами. Теорема Коши, примененная к производной комплексного потенциала течения, сводится к утверждению, что для этой кривой
Первое из этих равенств выражает отсутствие циркуляции и показывает, что течение не является закрученным на у — положительные и отрицательные значения касательной составляющей скорости на у компенсируют друг друга. Второе равенство выражает равенство нулю расхода на у, оно показывает, что секундное количество жидкости, втекающей в у, равно количеству жидкости, вытекающей из него. Такова физическая интерпретация теоремы Коши. Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно — если область течения
Рис. 18. Для доказательства соединим
Последние два слагаемых сокращаются, и мы получаем формулу (16). Отметим, что формула (16) остается справедливой и тогда, когда Простым следствием доказанного свойства является следующий фундаментальный факт, известный под названием интегральной формулы Коши: пусть функция
Подынтегральная функция (мы рассматриваем ее в зависимости от переменной
где Вводя на
В силу непрерывности Интегральная формула Коши имеет богатые следствия, из которых мы укажем сейчас только одно. Возьмем произвольную точку
Эта формула показывает, что аналитические функции очень правильно устроены — их значение в каждой точке равно среднему арифметическому значению на достаточно малой окружности с центром в этой точке (теорема о среднем). Из нее можно снова получить принцип максимума модуля, о котором мы говорили выше.
|
1 |
Оглавление
|