§ 17. Задачи с переходом через скорость звука

К числу важных и трудных проблем газодинамики относятся проблемы исследования движения, в которых есть как дозвуковые, так и сверхзвуковые зоны.

Обычно рассматриваются задачи, в которых сверхзвуковые зоны появляются у стенок — границ потока, или имеется линия, соединяющая границы течения, на которой дозвуковое течение переходит в сверхзвуковое. К числу последних относится и следующая задача.

Задача о сопле. Пусть имеется симметричная относительно оси х труба (мы рассматриваем плоский случай), которая до некоторого момента сужается, а затем начинает расширяться (рис. 45).

Рис. 45.

Если в ней имеется течение с достаточно большой дозвуковой скоростью то по основному свойству дозвуковых течений сужение трубы приведет к увеличению скорости, она достигнет скорости звука, а после этого расширение трубы (по свойству сверхзвуковых течений) также поведет к увеличению скорости. Так устроены сопла для получения

сверхзвуковых течений. Задача состоит в том, чтобы рассчитать это течение и, в частности, найти линию перехода через скорость звука.

Здесь мы приведем некоторые соображения, связанные с решением этой задачи для модели течений, введенной выше. Пусть линия перехода в плоскости потенциала задается уравнением величины со стороны сверхзвуковой зоны мы будем отмечать чертой сверху.

Мы предполагаем, что линия перехода — гладкая и что вдоль нее скорости дозвукового и сверхзвукового течений склеиваются непрерывно как по величине, так и по направлению. Тогда касательные производные и а на линии перехода также будут непрерывными, а это записывается в виде:

Далее, на линии перехода мы имеем так что основные уравнения (10) § 15 дают

Используя эти соотношения и предыдущие, после простых преобразований мы получим

Отсюда легко заключить, что в рассматриваемой модели переход через скорость звука без разрыва производных модуля или аргумента скорости невозможен. Этот факт отражает особенность нашей модели, он связан с тем, что коэффициенты основных уравнений этой

модели при переходе через скорость звука меняются скачком.

Следующий факт, по-видимому, имеет общий характер; он показывает, как должна располагаться линия перехода через скорость звука в сопле. Именно, в плоскости потенциала, а значит, и в плоскости течения, линия перехода располагается до первой характеристики по направлению течения.

Этот факт следует из того, что на всей линии перехода должно выполняться неравенство

причем знак равенства может достигаться лишь в изолированных точках.

Для доказательства (5) заметим, что условие возрастания скорости на линии перехода дает откуда в силу (2) заключаем, что на этой линии Из уравнений (3) теперь получаем следующее: если в какой-нибудь точке линии перехода, а значит, и в некоторой ее окрестности, было бы то в этой окрестности а тогда по (2) Из (4) следует, что в нашей окрестности — и т. е. производные и а остаются непрерывными при переходе через участок линии перехода, а это невозможно по сделанному выше замечанию. Таким образом, на линии перехода всюду Равенство может достигаться только в изолированных точках, ибо если бы оно достигалось на каком-либо отрезке, то этот отрезок был бы отрезком характеристики; тогда из наших соотношений следовало бы, что на нем а это нельзя склеить с дозвуковым режимом

Мы доказали, что на линии перехода всюду либо либо причем равенство может достигаться лишь на изолированном множестве. Покажем, что второй случай невозможен. В самом деле, дозвуковой режим определяет на линии перехода значения и а, а значит, и функции на некоторых отрезках Так как по формулам (13) § 15 на отрезке оси и должно выполняться условие

то на этом отрезке Далее, на этом отрезке функция

должна убывать, а значит, возрастать. Но на линии перехода

значит, на том ее участке, где дифференцирование по дает

Если бы на линии перехода было то из этого равенства следовало бы, что разных знаков, т. е. не может возрастать ни на каком отрезке оси и. Противоречие доказывает утверждение.

Итак, доказано, что в плоскости комплексного потенциала линия перехода должна располагаться левее первой характеристики (см. рис. 45). Так как отображение локально гомеоморфно, то таков же характер расположения этих линий и в плоскости течения.

Выясним теперь характер отображения плоскости потенциала на плоскость годографа, которое соответствует течению в симметричном сопле с переходом через скорость звука. В качестве плоскости годографа мы Возьмем плоскость переменного просто

связанного со скоростью Якобиан отображения в дозвуковой области равен

он здесь всегда неположителен и обращается в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой области этот якобиан

может обращаться в нуль и менять знак на характеристиках.

Из предыдущего анализа следует, что на линии перехода имеем — , где Так как у нас

причем на линии перехода определяется дозвуковым режимом, то зная дозвуковой режим и вид линии перехода, мы можем определить на ; на

Будем двигаться по линии перехода от точки В к 0; при этом остается постоянным, а а возрастает от некоторого отрицательного значения до 0 (как это видно из движения в дозвуковой зоне). Так как при этом возрастают и и то, как видно из (10), функция

Ф возрастает, а убывает, причем

Эти значения индуцированные дозвуковым течением, определяют сверхзвуковое течение в зоне где (см. рис. 45). Как видно из (9) и только что сделанного вывода, якобиан в этой зоне остается отрицательным, так что отображение на линии перехода продолжает быть локально гомеоморфным.

При и 0 из того, что на оси, и вытекает условие На некотором участке оси и функция должна продолжать возрастать — это следует из (6) и условия возрастания скорости на оси сопла. Пр едположим сначала, что тогда всюду в зоне где имеем

в этой зоне всюду и на первой характеристике якобиан знака не меняет. В этой зоне должна лежать линия на которой точками на рис. 45). В самом деле, при любом фиксированном функция а возрастает с ростом и, причем на первой характеристике имеем а на второй имеем а После второй характеристики, в зоне III, где и обе производные становятся положительными, следовательно, там якобиан меняет знак на и там у отображения появляется складка: образ зоны III накладывается на образ зоны II (см. рис. 45). Линия таким образом, служит местом, где нарушается гомеоморфность рассматриваемого отображения. Если то в зоне II на характеристике и появится дополнительная складка отображения якобиан на ней изменит знак.

Отметим, что в многочисленных примерах точных и приближенных решений задачи о симметричном сопле в классической теории (Лайтхилл, Ф. И. Франкль, С. В. Фалькович, Томотико и Тамада и др.) характер перехода через скорость звука именно таков, каким он оказался в нашей модели (при ).

Полного решения задачи о сопле с доказательством существования и выяснением условий, обеспечивающих единственность, пока еще получить не удалось ни для классической теории, ни для упрощенной модели.

Сверхзвуковые включения. Кроме рассмотренного случая перехода через скорость звука в трубах, когда линия перехода пересекает поток от стенки до стенки, в большом числе экспериментов наблюдаются смешанные (до- и сверхзвуковые) течения другого рода. Рассмотрим симметричную трубу с симметричными стенками, движение в которой мы для простоты будем рассматривать в плоской постановке. Если скорость течения в бесконечности сравнительно невелика, то Движение во всей трубе остается дозвуковым. При увеличении в ряде случаев сначала появляются небольшие сверхзвуковые зоны вблизи мест, где трубы сужаются, а в остальной части течение остается дозвуковым.

Приведем математическую постановку задачи, которая возникает в связи с такого рода течениями. Мы сформулируем ее в рамках описанной выше модели смешанных течений.

Рис. 46.

Дана область типа полосы, ограниченная осью х и гладкой кривой Г с горизонтальной асимптотой. При заданной скорости в бесконечности требуется найти область ограниченную дугой и дугой имеющей общие концы с (рис. 46), так что:

1) в отображение в плоскость комплексного потенциала определяется системой Коши — Римана

причем скорость в бесконечности равна , а всюду в не превышает

2) в это же отображение удовлетворяет системе

причем всюду

3) поле скоростей непрерывно всюду в

4) отображение гомеоморфно в и преобразует в полосу с нормировкой

Напомним, что системы (11) и (12) подобраны так, что их производные системы являются соответственно простейшими системами эллиптического и гиперболического типа.

Для этой задачи можно провести качественное исследование, подобное тому, которое выше было проведено для перехода через скорость звука в сопле. В случае классических уравнений газовой динамики такое исследование было проведено А. А. Никольским и Г. И. Тагановым [10], которые установили, что в рассматриваемой задаче отображение на плоскость

годографа должно быть взаимно однозначным. Отсюда, в частности, вытекает, что линия перехода у должна быть строго выпуклой (не может содержать прямолинейных отрезков). Ряд результатов исследований сверхзвуковых течений можно найти в книге Л. И. Седова [2].

Однако в общей постановке сформулированная выше задача до сих пор не решена. Хотелось бы иметь результат, по которому при каких-либо (хотя бы и очень ограничительных) условиях на кривую Г обеспечивалось существование постоянных таких, что при в области существовало единственное течение со сверхзвуковой зоной, примыкающей к Г. Быть может, переход к упрощенной модели уравнений газовой динамики, которая предложена здесь, облегчает математический аппарат (в дозвуковой зоне можно пользоваться теорией конформных отображений, а в сверхзвуковой — простыми представлениями решений, которые даны в § 15), и для этой модели задачу удастся решить.

Необходимость значительных ограничений на кривую Г видна из исследований Ф. И. Франкля и других, в которых для ряда случаев доказывается невозможность течений с местными сверхзвуковыми зонами без разрыва скоростей. С соображениями такого рода можно ознакомиться по книге Л. Берса [5]. В свете сказанного, естественно наряду с поставленной выше задачей, где поле скоростей остается непрерывным, рассматривать также течения со скачками скорости и давления. Такие течения были рассмотрены в работах Ф. И. Франкля [11] и [12], где граница сверхзвуковой зоны состоит из линий перехода у и скачка уплотнения (рис. 47).

Рис. 47.

Поясним этот термин. Как известно, у эллиптических уравнений с гладкими коэффициентами и все решения гладкие. Гиперболические уравнения не обладают таким свойством, например, решения уравнений второго порядка с гладкими коэффициентами могут иметь разрывы вторых производных на

характеристиках (см., например, Р. Курант и К. Фридрихе [4]). Кроме таких разрывов, называемых слабыми разрывами, могут существовать разрывы другого рода, которые называются скачками.

Скачки (в двумерном случае, рассматриваемом здесь) представляют собой линии, на которых происходит разрыв скорости, а значит — плотности и давления. Физически они реализуются в виде узких полосок весьма быстрого изменения скоростей, где выступает вязкость как существенный параметр, которым нельзя пренебрегать. Величины разрывов на скачке (т. е. разностей предельных значений после скачка и до него, считая по направлению движения вдоль линий тока) не произвольны, они управляются гидродинамическими и термодинамическими факторами.

Наиболее часто рассматриваются скачки, удовлетворяющие следующим трем условиям: 1) тангенциальная (по отношению к скачку а) составляющая скорости остается непрерывной при переходе через скачок;

2) остается непрерывным произведение плотности на нормальную составляющую скорости (это требование вытекает из закона сохранения массы); 3) плотность при переходе через скачок может лишь возрастать (следствие второго закона термодинамики). Такие скачки поэтому называются скачками уплотнения. При переходе через них скорость движения может, следовательно, лишь упасть, в частности, сверхзвуковое течение может перейти в дозвуковое, но не наоборот. Подробнее о разрывных решениях уравнений газовой динамики можно прочитать в книге Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Розе [1].

Было бы интересно проанализировать течения со сверхзвуковыми зонами, заканчивающимися скачками уплотнения, в рассматриваемой здесь упрощенной додели уравнений газовой динамики. По-видимому, в этой модели можно дать более исчерпывающее исследование, чем в классической.

Задача о склейке. В заключение приведем еще один модельный вариант задачи о смешанном течении, рассмотренный в статье М. А. Лаврентьева [13]. Пусть дана область типа полосы, ограниченная гладкой кривой с горизонтальной асимптотой и

прямой Требуется найти кривую для разбивающую на две области (рис. 48) так, чтобы существовали квазиконформные отображения соответственно на полосы сохраняющие бесконечные точки полос, причем удовлетворяет системе уравнений эллиптического типа, системе гиперболического типа; на у оба отображения должны совпадать. Для простоты формулировок будем обозначать через область типа полосы, ограниченную снизу кривой и сверху

Рис. 48.

Для произвольных систем эта задача, по-видимому, неразрешима. Дело в том, что в эллиптической зоне влияние локальных вариаций границы у быстро затухает по мере удаления от места вариации, а в гиперболической зоне эффект затухания отсутствует (см. §§ 12—14). Это обстоятельство может сделать поставленную задачу неустойчивой и в общем случае неразрешимой.

Из этого затруднения можно найти выход, соответствующий условиям, которые реализуются на практике. Он состоит в учете вязкости, под влиянием которой эффект локальных вариаций затухает по мере удаления от места вариации также и в сверхзвуковых течениях. В модельных постановках вязкость можно учитывать в форме какого-либо сглаживающего процесса, которому следует подвергать решения гиперболических систем.

Например, пусть в описанной выше постановке конформное отображение, удовлетворяет в гиперболической системе (12); пусть характеристики отображения предельные значения этих характеристик при Сглаживающий процесс для отображения можно организовать, скажем, так. Заменяем характеристики V и а функциями

где малый параметр. Эти функции мы принимаем, соответственно, за растяжение и наклон прообразов линий тока и по ним восстанавливаем отображение области на полосу считая его близким к линейному при больших отрицательных

Для этого случая уточненная постановка задачи о склейке такова: найти в области кривую у так, чтобы сглаженное процессом (13) квазиконформное отображение области на полосу и конформное отображение области на полосу совпадали во всех точках кривой у, которая получается из у процес: сом сглаживания.

Укажем процесс последовательных приближений для решения этой задачи, сходящийся в случае, когда близка к прямой в том смысле, что при со скоростью где постоянное и число h мало В качестве первого приближения примем за ось х. Тогда для него и сглаживающий процесс не изменяет отображения. При конформном отображении области на растяжение 1° на у, будет отличаться от 1 на величину порядка h (см. § 12). В качестве второго приближения для у примем кривую такую, что при конформном отображении на растяжение на всюду равно 1 (как мы. увидим в следующей главе, такая кривая существует, единственна и отклоняется от на величину порядка

Далее мы найдем квазиконформное отображение области на сгладим его процессом (13) и тогда на сглаженной кривой растяжение будет отличаться от 1 на величину порядка и при стремиться к 1 по экспоненциальному закону (также будет отличаться от 0 и наклон а). Теперь найдем кривую чтобы на ней растяжение конформного отображения было равно и т. д. Естественно ожидать, что этот процесс сходится к решению задачи

о склейке, но доказательство, по-видимому, сопряжено с большими трудностями.

В заключение мы приведем общую постановку, которая естественно возникает в связи с рассмотренной выше задачей. В большом количестве явлений, наблюдаемых в гидродинамике, наряду с факторами, управляемыми дифференциальными уравнениями, оказываются весьма существенными и некоторые другие факторы. Поэтому представляется очень заманчивым построение теории классов отображений, описываемых не как решения тех или иных систем уравнений с частными производными, а скажем, заданных аксиоматически, по совокупности характерных свойств.

Например, пусть задан класс Е односвязных областей с гладкими границами, который наряду с каждой областью содержит и все области, которые получаются из гладкими малыми деформациями. Пусть еще задан алгоритм который каждой области. ставит в соответствие единственное при заданном соответствии трех пар граничных точек гомеоморфное отображение области на какую-либо каноническую область (круг, полуплоскость или полосу). Алгоритм предполагается непрерывным, т. е. сопоставляющим близким областям и близкие отображения

Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений справедливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяются так, чтобы для соответствующих отображений влияние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые называются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений.

Отображения, соответствующие алгоритмам с определенными свойствами, можно рассматривать как квазиконформные отображения в широком смысле. Развитие такого аксиоматического подхода к теории квазиконформных отображений представляет значительный интерес, как с точки зрения самой теории, так и ее возможных приложений.

Литература

(см. скан)