Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 17. Задачи с переходом через скорость звукаК числу важных и трудных проблем газодинамики относятся проблемы исследования движения, в которых есть как дозвуковые, так и сверхзвуковые зоны. Обычно рассматриваются задачи, в которых сверхзвуковые зоны появляются у стенок — границ потока, или имеется линия, соединяющая границы течения, на которой дозвуковое течение переходит в сверхзвуковое. К числу последних относится и следующая задача. Задача о сопле. Пусть имеется симметричная относительно оси х труба (мы рассматриваем плоский случай), которая до некоторого момента сужается, а затем начинает расширяться (рис. 45).
Рис. 45. Если в ней имеется течение с достаточно большой дозвуковой скоростью сверхзвуковых течений. Задача состоит в том, чтобы рассчитать это течение и, в частности, найти линию Здесь мы приведем некоторые соображения, связанные с решением этой задачи для модели течений, введенной выше. Пусть линия перехода Мы предполагаем, что линия перехода — гладкая и что вдоль нее скорости дозвукового и сверхзвукового течений склеиваются непрерывно как по величине, так и по направлению. Тогда касательные производные
Далее, на линии перехода мы имеем
Используя эти соотношения и предыдущие, после простых преобразований мы получим
Отсюда легко заключить, что в рассматриваемой модели переход через скорость звука без разрыва производных модуля или аргумента скорости невозможен. Этот факт отражает особенность нашей модели, он связан с тем, что коэффициенты основных уравнений этой модели при переходе через скорость звука меняются скачком. Следующий факт, по-видимому, имеет общий характер; он показывает, как должна располагаться линия перехода через скорость звука в сопле. Именно, в плоскости потенциала, а значит, и в плоскости течения, линия перехода располагается до первой характеристики по направлению течения. Этот факт следует из того, что на всей линии перехода должно выполняться неравенство
причем знак равенства может достигаться лишь в изолированных точках. Для доказательства (5) заметим, что условие возрастания скорости на линии перехода дает откуда в силу (2) заключаем, что на этой линии Мы доказали, что на линии перехода всюду либо
то на этом отрезке
должна убывать, а значит,
значит, на том ее участке, где
Если бы на линии перехода было Итак, доказано, что в плоскости Выясним теперь характер отображения плоскости потенциала связанного со скоростью
он здесь всегда неположителен и обращается в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой области этот якобиан
может обращаться в нуль и менять знак на характеристиках. Из предыдущего анализа следует, что на линии перехода
причем на линии перехода Будем двигаться по линии перехода от точки В к 0; при этом Ф возрастает, а Эти значения При и 0 из того, что
Отметим, что в многочисленных примерах точных и приближенных решений задачи о симметричном сопле в классической теории (Лайтхилл, Ф. И. Франкль, С. В. Фалькович, Томотико и Тамада и др.) характер перехода через скорость звука именно таков, каким он оказался в нашей модели (при Полного решения задачи о сопле с доказательством существования и выяснением условий, обеспечивающих единственность, пока еще получить не удалось ни для классической теории, ни для упрощенной модели. Сверхзвуковые включения. Кроме рассмотренного случая перехода через скорость звука в трубах, когда линия перехода пересекает поток от стенки до стенки, в большом числе экспериментов наблюдаются смешанные (до- и сверхзвуковые) течения другого рода. Рассмотрим симметричную трубу с симметричными стенками, движение в которой мы для простоты будем рассматривать в плоской постановке. Если скорость Приведем математическую постановку задачи, которая возникает в связи с такого рода течениями. Мы сформулируем ее в рамках описанной выше модели смешанных течений.
Рис. 46. Дана область 1) в
причем скорость 2) в
причем всюду 3) поле скоростей непрерывно всюду в 4) отображение Напомним, что системы (11) и (12) подобраны так, что их производные системы являются соответственно простейшими системами эллиптического и гиперболического типа. Для этой задачи можно провести качественное исследование, подобное тому, которое выше было проведено для перехода через скорость звука в сопле. В случае классических уравнений газовой динамики такое исследование было проведено А. А. Никольским и Г. И. Тагановым [10], которые установили, что в рассматриваемой задаче отображение на плоскость годографа должно быть взаимно однозначным. Отсюда, в частности, вытекает, что линия перехода у должна быть строго выпуклой (не может содержать прямолинейных отрезков). Ряд результатов исследований сверхзвуковых течений можно найти в книге Л. И. Седова [2]. Однако в общей постановке сформулированная выше задача до сих пор не решена. Хотелось бы иметь результат, по которому при каких-либо (хотя бы и очень ограничительных) условиях на кривую Г обеспечивалось существование постоянных Необходимость значительных ограничений на кривую Г видна из исследований Ф. И. Франкля и других, в которых для ряда случаев доказывается невозможность течений с местными сверхзвуковыми зонами без разрыва скоростей. С соображениями такого рода можно ознакомиться по книге Л. Берса [5]. В свете сказанного, естественно наряду с поставленной выше задачей, где поле скоростей остается непрерывным, рассматривать также течения со скачками скорости и давления. Такие течения были рассмотрены в работах Ф. И. Франкля [11] и [12], где граница сверхзвуковой зоны состоит из линий перехода у и скачка уплотнения
Рис. 47. Поясним этот термин. Как известно, у эллиптических уравнений с гладкими коэффициентами и все решения гладкие. Гиперболические уравнения не обладают таким свойством, например, решения уравнений второго порядка с гладкими коэффициентами могут иметь разрывы вторых производных на характеристиках (см., например, Р. Курант и К. Фридрихе [4]). Кроме таких разрывов, называемых слабыми разрывами, могут существовать разрывы другого рода, которые называются скачками. Скачки (в двумерном случае, рассматриваемом здесь) представляют собой линии, на которых происходит разрыв скорости, а значит — плотности и давления. Физически они реализуются в виде узких полосок весьма быстрого изменения скоростей, где выступает вязкость как существенный параметр, которым нельзя пренебрегать. Величины разрывов на скачке (т. е. разностей предельных значений после скачка и до него, считая по направлению движения вдоль линий тока) не произвольны, они управляются гидродинамическими и термодинамическими факторами. Наиболее часто рассматриваются скачки, удовлетворяющие следующим трем условиям: 1) тангенциальная (по отношению к скачку а) составляющая скорости остается непрерывной при переходе через скачок; 2) остается непрерывным произведение плотности на нормальную составляющую скорости (это требование вытекает из закона сохранения массы); 3) плотность при переходе через скачок может лишь возрастать (следствие второго закона термодинамики). Такие скачки поэтому называются скачками уплотнения. При переходе через них скорость движения может, следовательно, лишь упасть, в частности, сверхзвуковое течение может перейти в дозвуковое, но не наоборот. Подробнее о разрывных решениях уравнений газовой динамики можно прочитать в книге Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Розе [1]. Было бы интересно проанализировать течения со сверхзвуковыми зонами, заканчивающимися скачками уплотнения, в рассматриваемой здесь упрощенной додели уравнений газовой динамики. По-видимому, в этой модели можно дать более исчерпывающее исследование, чем в классической. Задача о склейке. В заключение приведем еще один модельный вариант задачи о смешанном течении, рассмотренный в статье М. А. Лаврентьева [13]. Пусть дана область прямой
Рис. 48. Для произвольных систем эта задача, по-видимому, неразрешима. Дело в том, что в эллиптической зоне Из этого затруднения можно найти выход, соответствующий условиям, которые реализуются на практике. Он состоит в учете вязкости, под влиянием которой эффект локальных вариаций затухает по мере удаления от места вариации также и в сверхзвуковых течениях. В модельных постановках вязкость можно учитывать в форме какого-либо сглаживающего процесса, которому следует подвергать решения гиперболических систем. Например, пусть в описанной выше постановке
где Для этого случая уточненная постановка задачи о склейке такова: найти в области Укажем процесс последовательных приближений для решения этой задачи, сходящийся в случае, когда Далее мы найдем квазиконформное отображение о склейке, но доказательство, по-видимому, сопряжено с большими трудностями. В заключение мы приведем общую постановку, которая естественно возникает в связи с рассмотренной выше задачей. В большом количестве явлений, наблюдаемых в гидродинамике, наряду с факторами, управляемыми дифференциальными уравнениями, оказываются весьма существенными и некоторые другие факторы. Поэтому представляется очень заманчивым построение теории классов отображений, описываемых не как решения тех или иных систем уравнений с частными производными, а скажем, заданных аксиоматически, по совокупности характерных свойств. Например, пусть задан класс Е односвязных областей Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений Отображения, соответствующие алгоритмам с определенными свойствами, можно рассматривать как квазиконформные отображения в широком смысле. Развитие такого аксиоматического подхода к теории квазиконформных отображений представляет значительный интерес, как с точки зрения самой теории, так и ее возможных приложений. Литература(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|