Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VII. СТРУИВ этой главе будут рассмотрены некоторые сравнительно новые задачи, которые связаны со струями конечной ширины. Начнем с описания общих свойств таких струй. § 27. Струи конечной шириныСтруи с завихренными зонами. Рассмотрим еще один вариант задачи о склейке из числа тех, о которых говорилось в гл. V. Движение происходит в области
Рис. 77. Предположим, что в области условия непрерывности поля скоростей и того условия, что она является линией тока. В отличие от аналогичной задачи, в которой глубина основного течения бесконечна (см. гл. V § 22), в классе областей Качественное обоснование этого утверждения таково. В точке Физически более естественным является следующий вариант задачи. Рассмотрим (в плоской постановке) обтекание струей шириной h угла, образованного положительными полуосями х и у, скорость в бесконечности пусть равна У» и направлена вниз по оси у (рис. 78). Классическое решение этой задачи проводится в схеме потенциального течения и состоит в отыскании линии Г (границы струи) из условия постоянства на ней величины скорости Мы приходим к такой модели движения: область течения делится линией тока у на две области течение потенциально, а во второй имеет постоянную завихренность со, причем поле скоростей непрерывно во всей области течения (рис. 78). Как и в предыдущей задаче, скорость в бесконечности К», ширина струи h и величины завихренности считаются заданными, а линии Г и у ищутся из соответствующих условий. Здесь также было бы интересно получить количественные оценки для величины
Рис. 78. Еще ближе к действительности схема неустановившегося движения. Такими движениями мы займемся в следующей главе, а здесь лишь рассмотрим постановку, связанную с задачей обтекания угла. В реальной жидкости под влиянием вязкости размер завихренной зоны с течением времени будет увеличиваться. Кроме того, вследствие трения о нижнюю стенку угла на эту зону будет действовать сила, направленная вправо, а силы сцепления с вертикальной стенкой будут ее удерживать. В результате завихренная зона, увеличиваясь, приобретает склонность вытягиваться в горизонтальном направлении. По достижении некоторого критического размера вихревая зона срывается со стенки и уносится потоком. После этого вблизи вершины угла образуется новая вихревая зона, которая растет до критического размера и вновь срывается и т. д. Было бы весьма интересно построить математическую модель обтекания угла по этой схеме и, в частности, оценить критический размер вихревой зоны, по достижении которого она срывается. Первая из рассмотренных здесь задач может служить основой для построения модели образования вихрей в струях, если наряду с течением, изображенным на рис. 77, рассмотреть еще течение, симметричное с ним осносительно оси х. Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. IX. Косой удар струи о прямую. Эта классическая задача решается методами комплексного анализа. Рассмотрим комплексный потенциал
Рис. 79. На свободных границах струи Пусть
Величина скорости
где
Подставляя это в (2), мы находим отображение, обратное к искомому:
В принципе отсюда находится и само отображение
Найдем приближенное выражение этой функции вблизи начала струи, т. е. точки 3, которой соответствует значение формуле Тейлора
где
Обтекание тел струями. Существенно сложнее задача о набегании струи на произвольный контур у, которая ставится так. Найти потенциальное и без особенностей движение жидкости по следующим условиям: 1) вблизи точки 2) на свободных поверхностях струи 3) струя обтекает заданный контур у, ограничивающий некоторую область, конечную или бесконечную. Укажем путь решения этой задачи. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим функцию
где область типа полуплоскости. Тогда картина в плоскости Для практических целей можно задавать значения
Рис. 80. Можно применять также метод последовательных приближений — задавая одну из свободных границ, скажем Г, подбирать Г из условия, что на ней Пусть теперь Рассмотрим частный случай этой задачи, когда приближенное решение при малом
где а — угол оси симметрии с отрицательной полуосью х (рис. 80). В окрестности точки Конечно, ближе к действительности схемы струйных течений с вихревыми зонами.
Рис. 81. Рассмотрим несколько вариантов таких схем для простейшего случая обтекания струей плоской пластинки (см. рис. 81, где изображена верхняя половина течения, нижняя симметрична ей). Схема рис. 81, а Диалогична рассмотренной в § 22 гл. V — здесь вихревая зона представляет собой односвязную область, примыкающую к пластинке. При заданных постоянной завихренности. В схеме рис. 81, в зона постоянного давления велика, а завихренная зона представляет собой узкое кольцо. Схема рис. 81, г является предельным случаем предыдущей, когда вихревая зона уже исчезла. Весьма любопытно было бы получить семейство решений задачи струйного обтекания пластинки, зависящее от некоторого параметра и осуществляющее непрерывный переход от схемы течения с односвязной зоной постоянной завихренности (рис. 81, а) к схеме Кирхгофа (рис. 81, г). Вероятно, более простыми являются схемы рис. 81, б и в, в первой из которых можно воспользоваться малостью зоны постоянного давления, а во второй — узостью вихревой зоны. Интересно также построить математическую модель решения этой задачи в схеме неустановившегося движения. Здесь постановка такова: плоская пластинка мгновенно помещается в перпендикулярную к ней струю, и сразу же под влиянием вязкости у краев пластинки (где скорость потенциального течения бесконечна) начинают возникать небольшие зоны постоянной завихренности. С течением времени эти зоны растут, деформируются и по мере достижения некоторых критических размеров срываются с пластинки в поток. После этого у краев пластинки начинают расти новые вихревые зоны и процесс повторяется. Задача о затопленной струе. Пусть имеется бесконечно глубокий потенциальный поток идеальной жидкости, движущийся над дном (осью На самом деле это — задача на неустановившееся движение. Быть может, для ее решения даже нет устойчивой схемы, и очень интересно было бы выяснить, как именно развивается в ней неустойчивость. Однако в некотором приближении можно попытаться описать явление в схеме установившегося движения. Приведем несколько возможных схем такого рода, аналогичных схемам обтекания тел со срывом струй. В схеме рис. 82, а струя идет в жидкости. В схеме рис. 82, б струя на некотором расстоянии от точки выхода примыкает к дну, а за струей образуется ограниченная зона, в которой жидкость можно считать покоящейся или, в другом варианте, движущейся с постоянным завихрением.
Рис. 82. Можно ожидать, что эти схемы допускают сравнительно несложное математическое описание. Два гидродинамических эффекта. Первый эффект известен давно и на нем основано несколько игрушек. Он состоит в следующем: легкий шарик (например, из пробки или мяч от пинг-понга) может устойчиво держаться в тонкой струе воздуха или воды, направленной вверх. Второй эффект был сравнительно недавно обнаружен М. А. Гольдштиком. Возьмем круглый цилиндр высотой, в несколько раз большей диаметра, и закрепим его так, чтобы он мог легко вращаться вокруг своей оси, которую расположим горизонтально. Пустим на этот цилиндр струю воды, ось которой (при формировании струи) горизонтальна и проходит несколько ниже оси цилиндра. Если толщина струи мала по сравнению с диаметром цилиндра, то цилиндр раскручивается в естественно ожидаемом направлении — так, что нижняя его часть движется в направлении струи. Однако оказывается, что в, некотором диапазоне толщин струи и расстояний мелоду осями струи и цилиндра нижняя часть цилиндра движется в противоположном направлении! Задачи, которые были разобраны выше, позволяют объяснить эти эффекты. Рассмотрим сначала эффект устойчивости шарика в струе, причем мы ограничимся плоской задачей обтекания круга узкой струей. Пусть сначала ось струи проходит через центр круга, так что точка разветвления струй обозначениями предыдущего пункта и располагаем оси координат, как там). Как мы говорили, в схеме идеальной жидкости точку встречи струй 22 можно задавать произвольно, однако физически очевидно, что реализовываться будет лишь симметричный случай, когда точка разветвления струй
Рис. 83. Та же тенденция будет наблюдаться и в случае, когда ось струи не проходит через центр круга — в первом приближении можно считать, что точка Мы получаем, таким образом, объяснение устойчивости шарика в струе — если ось струи проходит через центр шарика, то реализуется симметричное течение, если же под влиянием каких-либо причин шарик несколько сместится, то сейчас же возникнет сила, перемещающая его центр к оси струи. Эти же причины объясняют и вращение цилиндра в нормальном случае, при обтекании его тонкой струей — если ось струи проходит ниже оси цилиндра, та толстая часть струи будет занимать больше половины обтекаемой окружности и цилиндр будет вращаться в сторону, куда его увлекает толстая струя (на рис. 83 против часовой стрелки). Нам остается объяснить аномальный случай вращения цилиндра. Пусть ширина струи
Рис. 84. Если ширина струи Теперь мы можем объяснить и парадоксальный случай вращения цилиндра. Пусть ось достаточно широкой струи проходит ниже оси цилиндра (рис. 85). В качестве основного (безвихревого) течения по причинам, о которых говорилось выше, следует принять то, при котором точки диаметрально противоположны. Но тогда снизу цилиндра пойдет более широкая струя, чем сверху. Если допустить сколь угодно малую вязкость, то в окрестности точки слияния струй начнут образовываться две вихревые зоны
Рис. 85. Экспериментально установлено, что парадоксальное направление вращения цилиндра исчезает, если жидкость практически невязкая (ее число Рейнольдса очень велико) или, наоборот, слишком вязкая (с очень малыми числами Рейнольдса). Этот эксперимент подтверждает естественность приведенного объяснения.
|
1 |
Оглавление
|