Глава VII. СТРУИ

В этой главе будут рассмотрены некоторые сравнительно новые задачи, которые связаны со струями конечной ширины. Начнем с описания общих свойств таких струй.

§ 27. Струи конечной ширины

Струи с завихренными зонами. Рассмотрим еще один вариант задачи о склейке из числа тех, о которых говорилось в гл. V. Движение происходит в области типа полосы, нижней границей которой является ось х, а верхней — линия Г с горизонтальной асимптотой при (струя шириной в бесконечности).

Рис. 77.

Предположим, что в области ограниченной отрезком оси х и дугой у, опирающейся на этот отрезок, течение имеет постоянную завихренность , а в остальной части области оно потенциально (рис. 77). Скорость течения в бесконечности К, и величина завихренности заданы; линии Г и у нужно найти — первую (свободную поверхность) из условия постоянства на ней величины скорости вторую (линию склейки) — из

условия непрерывности поля скоростей и того условия, что она является линией тока.

В отличие от аналогичной задачи, в которой глубина основного течения бесконечна (см. гл. V § 22), в классе областей диаметр которых ограничен снизу положительной постоянной и кривизна у также ограничена, эта задача не всегда разрешима. Именно, если фиксировать У со, то найдется значение такое, что при задача оказывается неразрешимой.

Качественное обоснование этого утверждения таково. В точке , где струя встречает завихренную зону скорость течения должна быть равной нулю, а на свободной границе Г величина скорости равна кроме того, в рассматриваемой схеме производные скорости ограничены. Если взять ширину струи h очень малой сравнительно с диаметром и величиной, обратной кривизне у, то на у найдется точка , расположенная от на расстоянии малом, но большом в сравнении с скажем, Скорость течения в точке при малом h будет сколь угодно близка к а, с другой стороны, эта точка близка к точке , где скорость равна 0. Это противоречит ограниченности производных скорости, и следовательно, в наших условиях течений с очень малыми h существовать не может.

Физически более естественным является следующий вариант задачи. Рассмотрим (в плоской постановке) обтекание струей шириной h угла, образованного положительными полуосями х и у, скорость в бесконечности пусть равна У» и направлена вниз по оси у (рис. 78). Классическое решение этой задачи проводится в схеме потенциального течения и состоит в отыскании линии Г (границы струи) из условия постоянства на ней величины скорости Однако эта схема далека от действительности. Реальная жидкость не любит ни очень больших, ни очень малых скоростей и особенно избегает больших перепадов скоростей. Поэтому на самом деле в значительном диапазоне скоростей у вершины обтекаемого угла (где в потенциальной схеме скорость течения обращается в нуль) возникает завихренная зона.

Мы приходим к такой модели движения: область течения делится линией тока у на две области неограниченную) и (ограниченную), в первой из них

течение потенциально, а во второй имеет постоянную завихренность со, причем поле скоростей непрерывно во всей области течения (рис. 78). Как и в предыдущей задаче, скорость в бесконечности К», ширина струи h и величины завихренности считаются заданными, а линии Г и у ищутся из соответствующих условий. Здесь также было бы интересно получить количественные оценки для величины отделяющей случаи разрешимости и неразрешимости задачи, в зависимости от других параметров.

Рис. 78.

Еще ближе к действительности схема неустановившегося движения.

Такими движениями мы займемся в следующей главе, а здесь лишь рассмотрим постановку, связанную с задачей обтекания угла. В реальной жидкости под влиянием вязкости размер завихренной зоны с течением времени будет увеличиваться. Кроме того, вследствие трения о нижнюю стенку угла на эту зону будет действовать сила, направленная вправо, а силы сцепления с вертикальной стенкой будут ее удерживать. В результате завихренная зона, увеличиваясь, приобретает склонность вытягиваться в горизонтальном направлении. По достижении некоторого критического размера вихревая зона срывается со стенки и уносится потоком. После этого вблизи вершины угла образуется новая вихревая зона, которая растет до критического размера и вновь срывается и т. д.

Было бы весьма интересно построить математическую модель обтекания угла по этой схеме и, в частности, оценить критический размер вихревой зоны, по достижении которого она срывается.

Первая из рассмотренных здесь задач может служить основой для построения модели образования вихрей в струях, если наряду с течением, изображенным на рис. 77, рассмотреть еще течение, симметричное с ним

осносительно оси х. Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. IX.

Косой удар струи о прямую. Эта классическая задача решается методами комплексного анализа. Рассмотрим комплексный потенциал течения; он определяется с точностью до постоянного слагаемого, которое мы подберем так, чтобы в точке разветвления потока 2 (рис. 79) (мы примем ее за начало было

Рис. 79.

На свободных границах струи функция тока принимает постоянные значения, пусть это будут на на значения на прямой, о которую ударяет струя (мы примем ее за ось пусть равны 0. Функция конформно отображает область течения на полосу с разрезом вдоль отрицательной полуоси (рис. 79).

Пусть будет функция, обратная рассмотрим аналитическую в нашей полосе с разрезом функцию

Величина скорости на границах полосы принимает постоянные значения, равные ограничивая общности, мы можем считать Так как то на границах полосы имеем

а на верхнем и нижнем берегах разреза значения соответственно равны (вспомните геометрический смысл производной). Отсюда следует, что функция (1) отображает нашу полосу с разрезом на полуполосу плоскости а такое отображение можно выписать элементарно. В самом деле, как нетрудно проверить, функция

где отображает верхнюю полуплоскость на полосу с разрезом; соответствие точек при этом отображении показано на рис. 79. Остается найти отображение верхней полуплоскости на полуполосу А, а обратное к такому отображению выписывается просто:

Подставляя это в (2), мы находим отображение, обратное к искомому:

В принципе отсюда находится и само отображение а тогда

Найдем приближенное выражение этой функции вблизи начала струи, т. е. точки 3, которой соответствует значение такое, что Так как у нас мы можем положить а, а тогда из уравнения получим, что Для получения нужного приближения мы положим в первых двух слагаемых а в третьем заменим

формуле Тейлора Полученное уравнение легко разрешается относительно до, и после вычислений мы получаем, что в окрестности начала струи

где некоторая постоянная. Так как в окрестности точки 3 значения близки к положительной бесконечности, то там очень близко к и значит, Мы видим, что а — это угол наклона струи к оси х и что ее ширина асимптотически равна (ширине полосы в плоскости Заметим, однако, что этот вывод можно получить и без вычислений комплексного потенциала: по теореме о количестве движения проекция на ось х количества движения в набегающей струе, т. е. величина , должна равняться разности количеств движений в струях, идущих по оси х, т. е. отсюда снова получаем

Обтекание тел струями. Существенно сложнее задача о набегании струи на произвольный контур у, которая ставится так. Найти потенциальное и без особенностей движение жидкости по следующим условиям:

1) вблизи точки это движение близко к поступательному движению струи вдоль оси х со скоростью которую мы принимаем равной 1;

2) на свободных поверхностях струи (неизвестных заранее) скорость постоянна, т. е. в силу предыдущего условия равна 1;

3) струя обтекает заданный контур у, ограничивающий некоторую область, конечную или бесконечную.

Укажем путь решения этой задачи. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим функцию

где функция, обратная к комплексному потенциалу искомого течения. Предположим сначала, что гладкая кривая и ограничивает бесконечную

область типа полуплоскости. Тогда картина в плоскости будет такой же, как в разобранной задаче, т. е. образом области течения служит полоса с разрезом вдоль отрицательной полуоси На границах этой полосы по-прежнему будет однако значения на разрезе теперь являются неизвестными, ибо мы не знаем, в какую точку кривой переходит при отображении

Для практических целей можно задавать значения на разрезе, и тогда, решая соответствующую смешанную граничную задачу, получать классы движений с различными контурами

Рис. 80.

Можно применять также метод последовательных приближений — задавая одну из свободных границ, скажем Г, подбирать Г из условия, что на ней (это задача о волнах, о которой говорилось в гл. V), затем подобранную Г считать заданной и по тому же условию подбирать новую Г и т. д.

Пусть теперь граница области конечного диаметра (мы будем считать ее гладкой, а область — выпуклой), тогда можно действовать так же, как в только что разобранном случае. Однако этот случай имеет существенное отличие от предыдущего: решение не определяется заданием величины , обтекаемого контура, ширины и положения струи вблизи Мы получаем при таком задании семейство решений, зависящее от одного параметра. Этот параметр можно определить, задавая еще точку встречи струй на контуре (вторую критическую точку течения) или циркуляцию скорости вокруг у. Иными словами, положение здесь такое же, как в задаче обтекания тела неограниченным потоком, которую мы рассматривали в § 18 гл. V и которая является предельным случаем рассматриваемой здесь задачи при

Рассмотрим частный случай этой задачи, когда окружность радиуса 1 (рис. 80), и приведем ее

приближенное решение при малом Тогда точка раздвоения струй будет близка к левой точке пересечения у с осью как говорилось выше, в качестве точки встречи струй можно взять любую точку окружности Из возможности обратить движение следует, что течение симметрично относительно диаметра у, перпендикулярного к хорде В окрестности с точностью до малых высших порядков можно заменить у касательной к ней в точке (которая параллельна оси симметрии течения) - и воспользоваться решением из предыдущего пункта. Из формулы (6) мы находим отношение ширин струй, образовавшихся после раздвоения:

где а — угол оси симметрии с отрицательной полуосью х (рис. 80). В окрестности точки течение симметрично с найденным. Пользуясь приближенными формулами для конформных отображений узких полос и учитывая, что на свободной поверхности скорость постоянна, можно доказать, что вне окрестностей точек свободные поверхности раздвоенной струи близки к дугам окружностей радиусов (нижняя) и (верхняя).

Конечно, ближе к действительности схемы струйных течений с вихревыми зонами.

Рис. 81.

Рассмотрим несколько вариантов таких схем для простейшего случая обтекания струей плоской пластинки (см. рис. 81, где изображена верхняя половина течения, нижняя симметрична ей). Схема рис. 81, а Диалогична рассмотренной в § 22 гл. V — здесь вихревая зона представляет собой односвязную область, примыкающую к пластинке. При заданных величина завихренности со определяется, равно как и положение критической точки (в верхней половине течения она одна). В схеме рис. 81, б около критической точки имеется небольшая зона постоянного давления, а вокруг нее расположена зона

постоянной завихренности. В схеме рис. 81, в зона постоянного давления велика, а завихренная зона представляет собой узкое кольцо. Схема рис. 81, г является предельным случаем предыдущей, когда вихревая зона уже исчезла.

Весьма любопытно было бы получить семейство решений задачи струйного обтекания пластинки, зависящее от некоторого параметра и осуществляющее непрерывный переход от схемы течения с односвязной зоной постоянной завихренности (рис. 81, а) к схеме Кирхгофа (рис. 81, г). Вероятно, более простыми являются схемы рис. 81, б и в, в первой из которых можно воспользоваться малостью зоны постоянного давления, а во второй — узостью вихревой зоны.

Интересно также построить математическую модель решения этой задачи в схеме неустановившегося движения. Здесь постановка такова: плоская пластинка мгновенно помещается в перпендикулярную к ней струю, и сразу же под влиянием вязкости у краев пластинки (где скорость потенциального течения бесконечна) начинают возникать небольшие зоны постоянной завихренности. С течением времени эти зоны растут, деформируются и по мере достижения некоторых критических размеров срываются с пластинки в поток. После этого у краев пластинки начинают расти новые вихревые зоны и процесс повторяется.

Задача о затопленной струе. Пусть имеется бесконечно глубокий потенциальный поток идеальной жидкости, движущийся над дном (осью ) со скоростью пусть в этот поток со дна (у точки ) втекает струя со скоростью направленная под углом а к дну, и требуется определить, как эта струя будет двигаться.

На самом деле это — задача на неустановившееся движение. Быть может, для ее решения даже нет устойчивой схемы, и очень интересно было бы выяснить, как именно развивается в ней неустойчивость. Однако в некотором приближении можно попытаться описать явление в схеме установившегося движения.

Приведем несколько возможных схем такого рода, аналогичных схемам обтекания тел со срывом струй. В схеме рис. 82, а струя идет в не примыкая ко дну, и за ней образуется бесконечная зона покоящейся

жидкости. В схеме рис. 82, б струя на некотором расстоянии от точки выхода примыкает к дну, а за струей образуется ограниченная зона, в которой жидкость можно считать покоящейся или, в другом варианте, движущейся с постоянным завихрением.

Рис. 82.

Можно ожидать, что эти схемы допускают сравнительно несложное математическое описание.

Два гидродинамических эффекта. Первый эффект известен давно и на нем основано несколько игрушек. Он состоит в следующем: легкий шарик (например, из пробки или мяч от пинг-понга) может устойчиво держаться в тонкой струе воздуха или воды, направленной вверх.

Второй эффект был сравнительно недавно обнаружен М. А. Гольдштиком. Возьмем круглый цилиндр высотой, в несколько раз большей диаметра, и закрепим его так, чтобы он мог легко вращаться вокруг своей оси, которую расположим горизонтально. Пустим на этот цилиндр струю воды, ось которой (при формировании струи) горизонтальна и проходит несколько ниже оси цилиндра. Если толщина струи мала по сравнению с диаметром цилиндра, то цилиндр раскручивается в естественно ожидаемом направлении — так, что нижняя его часть движется в направлении струи. Однако оказывается, что в, некотором диапазоне толщин струи и расстояний мелоду осями струи и цилиндра нижняя часть цилиндра движется в противоположном направлении!

Задачи, которые были разобраны выше, позволяют объяснить эти эффекты. Рассмотрим сначала эффект устойчивости шарика в струе, причем мы ограничимся плоской задачей обтекания круга узкой струей. Пусть сначала ось струи проходит через центр круга, так что точка разветвления струй (мы пользуемся

обозначениями предыдущего пункта и располагаем оси координат, как там). Как мы говорили, в схеме идеальной жидкости точку встречи струй 22 можно задавать произвольно, однако физически очевидно, что реализовываться будет лишь симметричный случай, когда точка разветвления струй Это объясняется вязкостью — в самом деле, при любой малой вязкости на большей из двух дуг у с концами будет и большая потеря скорости струи, а струя с большей скоростью будет сбивать вторую струю, так что точка 22 будет перемещаться к положению, диаметрально противоположному

Рис. 83.

Та же тенденция будет наблюдаться и в случае, когда ось струи не проходит через центр круга — в первом приближении можно считать, что точка диаметрально противоположна 2). Однако нужно еще учесть, что в более толстой струе потеря скорости вследствие вязкости (на участках равной длины) будет несколько меньшей, чем в тонкой. Вследствие этого точка немного сместится в сторону тонкой струи и по теореме Жуковского о подъемной силе (см. гл. V § 18) возникнет сила, действующая на круг в сторону от набегающей струи (рис. 83).

Мы получаем, таким образом, объяснение устойчивости шарика в струе — если ось струи проходит через центр шарика, то реализуется симметричное течение, если же под влиянием каких-либо причин шарик несколько сместится, то сейчас же возникнет сила, перемещающая его центр к оси струи.

Эти же причины объясняют и вращение цилиндра в нормальном случае, при обтекании его тонкой струей — если ось струи проходит ниже оси цилиндра, та толстая часть струи будет занимать больше половины обтекаемой окружности и цилиндр будет вращаться в сторону, куда его увлекает толстая струя (на рис. 83 против часовой стрелки). Нам остается объяснить аномальный случай вращения цилиндра.

Пусть ширина струи велика по сравнению с радиусом цилиндра, который мы по-прежнему принимаем равным 1. Сначала рассмотрим случай симметричного обтекания, когда ось струи проходит через ось цилиндра (рис. 84), т. е. точка раздвоения струи Если принять схему идеальной жидкости, то в соответствии с тем, о чем говорилось в начале этого параграфа, за цилиндром возникнут зоны с постоянной завихренностью Каждая из этих зон ограничена дугой обтекаемой окружности, отрезком оси х и кривой, соединяющей конец дуги с точкой в остальной части струи движение потенциально.

Рис. 84.

Если ширина струи достаточно велика, то размер завихренной зоны может быть произвольным — от нуля до некоторой предельной величины. С уменьшением h предельный размер убывает и при небольших h его можно считать величиной порядка h. Наличие вязкости меняет картину — описанного сейчас установившегося движения существовать не будет. Зародившаяся за цилиндром малая вихревая зона будет расти и с достижением некоторого предельного размера она отделится от цилиндра. Учитывая рассмотрения, проведенные выше в связи с образованием вихревых зон в струях, естественно считать, что меньшим значениям h соответствуют и меньшие размеры вихревых зон в момент отрыва.

Теперь мы можем объяснить и парадоксальный случай вращения цилиндра. Пусть ось достаточно широкой струи проходит ниже оси цилиндра (рис. 85). В качестве основного (безвихревого) течения по причинам, о которых говорилось выше, следует принять то, при котором точки раздвоения и встречи струй

диаметрально противоположны. Но тогда снизу цилиндра пойдет более широкая струя, чем сверху. Если допустить сколь угодно малую вязкость, то в окрестности точки слияния струй начнут образовываться две вихревые зоны растущие со временем. Обе эти зоны будут по достижении некоторых критических размеров срываться с цилиндра. Но критический размер зоны соответствующей более широкой струе, будет больше критического размера Поэтому дуга окружности, вдоль которой направление вихревого потока обратно направлению струи, будет большей для нижней струи (эта дуга выделена жирно на рис. 85). В силу трения это превышение и дает дополнительный момент, вращающий цилиндр в сторону, противоположную направлению широкой струи (на рис. 85 — по часовой стрелке).

Рис. 85.

Экспериментально установлено, что парадоксальное направление вращения цилиндра исчезает, если жидкость практически невязкая (ее число Рейнольдса очень велико) или, наоборот, слишком вязкая (с очень малыми числами Рейнольдса). Этот эксперимент подтверждает естественность приведенного объяснения.