Глава IV. КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

Сверхзвуковым течениям посвящено большое количество работ как теоретического, так и прикладного характера, в которых решено много важных задач; особенно плодотворным оказалось применение электронных вычислительных машин. Тем. не менее многие явления, связанные с движениями со скоростями выше звуковой, остались неисследованными. Особенно мало изучены движения, у которых в одних зонах — скорости дозвуковые, а в других — сверхзвуковые. Здесь мы рассмотрим несколько значительно более простых для исследования моделей систем уравнений с частными производными, на которых видны некоторые явления, присущие уравнениям газовой динлмики в сверхзвуковом и переходном режимах.

§ 14. Гиперболические конформные отображения

Мы начнем с краткого описания основных задач, связанных с -конформными отображениями, которые представляют собой гиперболический аналог обычных конформных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными производными. В то время как конформные отображения связаны с простейшей эллиптической системой — системой Коши—Римана, -конформные отображения связаны с простейшей гиперболической системой

Условия отобразимости. Под h-конформными отображениями мы будем понимать взаимно однозначные отображения удовлетворяющие системе (1). Как мы видели в гл. 11, такие отображения допускают представление вида

где произвольные гладкие функции одного переменного. Якобиан таких отображений

может обращаться в нуль лишь на прямых характеристиках системы (1).

Рис. 36.

В отличие от системы Коши — Римана якобиан решений системы (I) может менять знак на характеристиках, и тогда эти характеристики будут линиями ветвления — картина качественно отличается от аналитических функций, которые могут иметь лишь точки ветвления.

Теорема Римана о существовании конформных отображений на Л-конформные отображения не распространяется. Дело в том, что, как видно из формул (2), h-конформные отображения переводят характеристики системы (1) снова в характеристики:

поэтому при мы имеем При этом пара горизонтальных характеристических секторов (заштрихованы на рис. 36) в случае положительного якобиана переходит в такую же пару секторов (как на рис. 36), а в случае отрицательного якобиана — в пару вертикальных секторов. Для взаимно однозначных отображений якобиан не может менять знака,

поэтому граница Г области и граница Г ее образа при -конформном отображении должны быть расположены относительно характеристик все время одинаково (в случае или все время различно (если ). Поэтому, например, нельзя -конформно отобразить круг на полуплоскость, ибо граница круга переходит из одной пары характеристических секторов в другую, а граница полуплоскости все время остается в одной паре секторов.

Области типа полуплоскости. Тем не менее, области, которые одинаково расположены относительно характеристик, оказывается возможным -конформно отображать друг на друга. Рассмотрим, например, задачу об отображении на полуплоскость области типа полуплоскости, ограниченной гладкой кривой для которой всюду причем равенство может достигаться лишь в изолированных точках (условие одинаковости расположения относительно характеристик) и, кроме того, Г при ни с одной стороны не приближается асимптотически к характеристикам.

Мы докажем сейчас, что такую область можно -конформно отобразить на верхнюю полуплоскость, и притом бесчисленным множеством способов; именно можно еще задать возрастающее и гладкое соответствие точек Г и действительной оси.

В самом деле, отображение обратное к искомому, также удовлетворяет системе (1), поэтому его можно представить в виде

Пусть еще соответствие точек Г и оси и задается функцией у нас и равенство может достигаться лишь в изолированных точках. При мы должны иметь откуда находим

Правые части этих формул — известные дифференцируемые функции, а их производные

по условиям неотрицательны и могут обращаться в нуль лишь в изолированных точках. Следовательно, обе эти функции строго возрастают на всей оси и. При и они стремятся соответственно ибо если хоть одна из них стремится к конечному пределу, то, как видно из (5), кривая Г асимптотически приближается к характеристике.

Поэтому соотношения можно однозначно обратить, и мы получим , где возрастающие гладкие функции, отображающие всю ось на всю ось. Легко видеть, что определенное при помощи этих функций по формуле (2) отображение и является искомым взаимно однозначным отображением на полуплоскость с заданным соответствием границ.

Мы видим, что -конформные отображения (если они существуют) обладают гораздо большей неопределенностью, чем конформные — вместо соответствия трех граничных точек можно задавать соответствие всей границы. Однако можно указать естественные дополнительные условия, при которых число параметров, определяющих -конформное отображение, будет такое же, как для конформных отображений.

Именно, предположим, что в принятых выше условиях существует предел при углового коэффициента касательной к Г:

Тогда функция, отображающая на определяется с точностью до двух действительных параметров условием, что существует предел гиперболической производной (см. гл. II) при независимый от пути, по которому точка удаляется в

Легко видеть, что условие существования предела при эквивалентно условию существования пределов производных функций (5) при

Но на характеристике и имеем значит, независимый от пути может существовать лишь в том случае, когда Но тогда и (5) дает соотношение

из которого в силу наших предположений однозначно определяется функция к Эта функция монотонно возрастает от до когда и меняется от до После того, как к найдена, второе уравнение (5) определяет функцию также возрастающую от до причем так как при то существует

Наше утверждение доказано.

Прообразы «линий тока» при произвольном -конформном отображении на вообще говоря, сильно пульсируют на бесконечности, так что касательная к ним не имеет предела при

Рис. 37.

Однако в случае, если касательная к Г имеет предел при существуют и отображения, для которых такой пульсации нет (рис. 37), и их оказывается столько же, сколько и конформных отображений.

Области типа полосы. Аналогично обстоит дело с -конформными отображениями на полосу областей типа полосы, которые ограничены гладкими кривыми где функции для всех удовлетворяют условиям

причем равенства могут достигаться лишь в изолированных точках.

Любую такую область границы которой не приближаются асимптотически к характеристикам, можно -конформно отобразить на полосу причем можно задать соответствие границ на некотором участке зависящем от вида области

Для доказательства прежде всего заметим, что можно считать совпадающей с осью х. В самом деле, по предыдущему, область, лежащую выше можно -конформно отобразить на верхнюю полуплоскость Из формул (5) нетрудно вывести, что Г при этом перейдет в кривую для которой (с равенством в изолированных точках) и которая не приближается асимптотически к характеристикам. Если мы сумеем построить -конформное отображение на полосу области, ограниченной осью и и кривой Г, то композиция этого и предыдущего отображений будет -конформно отображать на полосу.

Итак, пусть будем искать отображение в виде (2). Из условия, что при получаем тождество и, следовательно, искомое отображение имеет вид

Условие соответствия Г и прямой приводит к тождеству

Обозначим так как у нас с равенством в изолированных точках, то строго возрастает и имеет обратную функцию которая, как нетрудно проверить, отображает всю ось на всю ось. Отсюда видно, что определена строго возрастающая на всей оси функция и, следовательно, тождество (7) можно переписать в виде

Покажем, как из этого функционального уравнения определяется функция Рассмотрим последовательность значений ,

так как у нас то эта последовательность строго возрастает и при Зададим теперь на отрезке в качестве произвольную гладкую функцию, удовлетворяющих условиям

При меняющемся от до значения меняются от до поэтому тождество (8) позволяет продолжить на отрезок условия (9) обеспечивают непрерывность и гладкость такого продолжения. Теперь, меняя на мы таким же способом продолжаем на отрезок и т. д. Если менять на отрезке то будет меняться на и тождество (8) позволит продолжить на этот последний отрезок. Меняя в нем мы таким способом продолжим на и т. д.

Рис. 38.

Конечно, вместо в качестве начального можно брать любой отрезок Мы видим, что на таком отрезке функцию можно задавать произвольно (с соблюдением условий (9), точнее — их аналога для любого а тогда уравнение (8) позволит продолжить эту функцию на всю числовую ось. Если после этого построить отображение по формулам (6), то нетрудно проверить, что оно и будет искомым.

Эта задача, как и предыдущая, оказалась существенно более неопределенной, чем аналогичная задача для конформных отображений: вместо одной действительной постоянной (у нас принята нормировка она содержит произвол в задании отображения на целом отрезке. Но по-прежнему этот произвол можно снять, если наложить ограничения на асимптотическое поведение отображающей функции, которые сводятся к устранению излишних пульсаций в бесконечности.

Предположим, что Г при имеет горизонтальную асимптоту и покажем, что -конформное

отображение на полосу с точностью до сдвига определяется условием существования предела при гиперболической производной этого отображения.

Из формул (6) видно, что такой предел существует тогда и только тогда, когда существует Чтобы вычислить этот предел, заметим, что для всех х

если существует то переходя здесь к пределу под знаком интеграла, получим т. е.

Далее, дифференцируя тождество (7), находим

Заменяя здесь на такое, что получаем

Аналогично, заменяя на такое, что будем иметь

Продолжая это рассуждение, мы строим последовательность точек

выписываем для соотношения, аналогичные предыдущим, и объединяя их, находим

Последовательность очевидно, неограниченно возрастает. Поэтому если существует, то

переходя к пределу при получим

причем бесконечное произведение справа сходится. Таким образом, производная вполне определена для всех х и, значит, функция определена с точностью до постоянного слагаемого. Наше утверждение доказано.

Влияние вариации границы. В предыдущей главе мы говорили о том, что влияние вариации границы отображаемой области на конформное отображение быстро (по экспоненте) убывает по мере удаления от места вариации. Этот эффект лежит в основе вариационных методов и вывода приближенных формул теории конформных отображений. Он присущ решениям не только системы Коши — Римана, но и других систем эллиптического типа.

Легко видеть, однако, что для простейшей системы гиперболического типа — системы (1) эффект не имеет места: влияние границы распространяется по характеристикам без затухания внутрь области.

Рис. 39.

Рассмотрим для примера -конформное отображение на верхнюю полуплоскость области, которая получается из верхней полуплоскости выбрасыванием треугольника (рис. 39). Если ограничиться отображением без пульсаций на бесконечности, то в представлении (4) обратного отображения

одна из функций будет линейной; скажем,

Тогда угловым точкам будут соответствовать точки оси и; условие соответствия оси и и границы области в плоскости позволит однозначно определить функцию

При таком отображении прообразы «линий тока» будут выглядеть так, как показано на рис. 39. До первой характеристики а, выходящей из левой вершины треугольника (зона I), и после второй выходящей из правой вершины (зоны VI), они будут прямыми, параллельными оси в этих зонах влияние треугольника не сказывается; то же будет в зонах II и III. В зонах же IV и V «линии тока» будут ломаными; в них влияние границы без затухания распространяется в область.

Эффект распространения влияния границы внутрь области по характеристикам присущ системам гиперболического типа.