Глава VI. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

Одним из наименее развитых разделов гидро- и аэродинамики является теория течений, обтекающих трехмерные тела. Особенно мало сделано в задачах с частично или полностью неизвестной границей области течения. Причиной этого является недостаточность математических методов решения таких задач вообще и отсутствие пространственного аналога метода годографа в частности.

В этой главе в основном будут изучаться задачи, в том или ином смысле близкие к плоским, и для их решения привлекаться методы, развитые в предыдущих главах для плоских задач. Мы не касаемся других методов решения пространственных задач; с этими методами можно ознакомиться, например, по обзору в [8]. Начнем с класса пространственных движений, простота изучения которого определяется тем, что для его описания, как и в плоском случае, можно ограничиться двумя функциями двух действительных переменных.

§ 23. Движения с осевой симметрией

Об уравнениях, связывающих потенциал и функцию тока для установившихся движений с осевой симметрией идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии источников и стоков, мы уже говорили в гл. I. Они имеют вид

где х - координата вдоль оси симметрии, расстояние до этой оси. Здесь мы остановимся на том, как на

такие движения переносятся решения гидродинамических задач, уже разобранных в плоских постановках.

Общие замечания. Для любой гармонической функции от трех переменных (т. е. функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа которая зависит только от можно найти сопряженную с ней функцию такую, что вместе удовлетворяют системе (1). Это следует из того, что уравнение Лапласа в цилиндрических координатах для функций, не зависящих от угла записывается в виде

и, значит, для каждого решения этого уравнения выражение где удовлетворяет условию полного дифференциала Заметим, однако, что в отличие от плоского случая функция уже не является гармонической, а удовлетворяет уравнению

Единственной гармонической функцией, зависящей только от является а зависящей только от линейная функция постоянные). Далее по сложности идут гармонические полиномы любой степени. Подбирая к таким сопряженные функции, мы получим аналоги степеней комплексного переменного — простейшие векторные функции, удовлетворяющие системе (1). Выпишем пять первых таких «степеней» (не считая тривиальной :

(индексы вверху указывают степень максимальную степень полинома). В курсах уравнений с частными

производными доказывается, что любое решение системы (1) представляется (в некоторой окрестности произвольной точки) в виде ряда

где «степени» (4) и действительные постоянные.

Кроме этих элементарных решений, соответствующих положительным степеням комплексного переменного можно написать еще решения, правильные в бесконечности, которые соответствуют отрицательным степеням. Простейшим таким решением уравнения (2) будет функция где а сопряженная к ней функция Остальные «отрицательные степени» получаются дифференцированием этих по х. Так мы находим

Любое решение системы (1), правильное в бесконечности, представляется в окрестности бесконечности рядом по этим «степеням».

Компоненты вектора скорости течения с осевой симметрией по осям выражаются через потенциальную функцию по формулам

и из (1) видно, что векторные линии поля скоростей совпадают с линиями так что как и в плоском случае, служит функцией тока. Из тех же уравнений (1) видно, что линии ортогональны, однако отображение не конформно — оно преобразует бесконечно малые квадраты в прямоугольники.

Рассматриваемые отображения составляют, следовательно, класс квазиконформных отображений. Система

(1) представляет собой частный случай системы (15) из § 7 (гл. II), для которой коэффициенты (вместо принятых в гл. II обозначений х и у для независимых переменных здесь приняты а вместо для функций — обозначения Коэффициент положительность которого определяет эллиптичность системы, в нашем случае равен поэтому система (1) является сильно эллиптической лишь в областях, не примыкающих к оси вращения на этой оси система вырождается.

Из формул (18) того же § 7 видно, что дифференциалы решений системы (1) преобразуют окружности плоскости в эллипсы плоскости где При приближении точки к оси вращения отношение полуосей этих эллипсов неограниченно возрастает. Такое нарушение квазиконформности является геометрическим признаком вырождения типа системы (1) на оси вращения. В областях, замыкание которых не пересекается с осью вращения, отображения удовлетворяющие системе (1) или, как мы еще будем говорить, квазиконформные отображения по системе (1) — обладают основными свойствами конформных отображений. Поэтому решения задач с осевой симметрией, как правило, несущественно отличаются от решений соответствующих плоских задач.

Метод источников. Решения (6) имеют простой физический смысл. Вычисляя по формулам (7) вектор скорости течения, мы найдем, что для комплексного потенциала этот вектор равен

Все векторы поля направлены к началу координат, а величина вектора убывает обратно пропорционально квадрату расстояния R до начала, следовательно, это — поле точечного источника, расположенного в начале (точнее — стока).

Размещая два источника интенсивностей а точках оси х, получим осесимметричное движение с комплексным потенциалом

Предельное образование, которое получается в результате слияния таких источников с возрастающей интенсивностью так что называется точечным диполем с моментом, направленным вдоль оси х. Как видно из (9), комплексный потенциал поля такого диполя

Рис. 69.

Точно так же другие «отрицательные степени» трактуются как комплексные потенциалы полей мультиполей, которые получаются слиянием диполей (квадруполей), слиянием квадру-полей и т. д.

Комбинируя элементарные решения системы (1), можно получать примеры движений с осевой симметрией. Рассмотрим, например, течение с комплексным потенциалом

где определяются по формулам (4) и (6), а положительные постоянные. Функция тока этого течения

обрашается в нуль на оси и на окружности Следовательно, это течение обтекает шар радиуса с центром в начале так, что ось х является линией тока и осью симметрии течения. На рис. 69 изображены линии тока этого течения в любой меридианной плоскости. Скорость течения в бесконечности , очевидно, равна 2а.

Если в этом примере заменить точечный диполь системой источников интенсивностей расположенных в точках оси х, то получим течение с комплексным потенциалом

где определяется формулой (9). Линия тока распадается на ось х и кривую овальной формы, окружающую точки Течение обтекает поверхность, вытянутую вдоль своей оси вращения х, со скоростью У» в бесконечности, направленной вдоль этой оси. На рис. 70 изображены линии тока в любом меридианном сечении.

Рис. 70.

Пр и мер можно обобщить, если считать, что источники размещены на произвольном множестве Е оси (ограниченном хотя бы слева) с переменной плотностью распределения интенсивностей. Комплексный потенциал такого течения задается формулой

а функция тока

Чтобы на участках оси х вне обтекаемого тела было очевидно, необходимо и достаточно потребовать равенство нулю суммарной обильности источников:

При соблюдении этого условия уравнение где определена формулой (13), распадается на и уравнение профиля обтекаемого тела вращения. Очевидно, что это тело содержит множество Е.

Можно обратить задачу — задаться формой профиля тела вращения и искать распределение источников на оси вращения так, чтобы создаваемое этими источниками течение обтекало заданное тело. Для решения такой задачи можно также воспользоваться формулой (13). На этот раз в ней нужно считать известной функцию (уравнение профиля обтекаемого тела), и тогда вместе с условием (14) будет интегральным уравнением относительно неизвестной плотности распределения источников

Задачи обтекания. Одна из часто встречающихся на практике задач с осевой симметрией — это задача о течении в трубе, меридианное сечение которой представляет собой полосу ограниченную осью х и кривой Г с асимптотой, параллельной этой оси. На оси х, так же как и на Г, функция должна принимать постоянные значения, так что задача сводится к квазиконформному по системе (1) отображению полосы на прямолинейную полосу с соответствием точек

Для выяснения смысла величины h вычислим поток вектора скорости через любое поперечное сечение трубы (все такие потоки одинаковы), например, через сечение Если учесть, что здесь нормальная составляющая скорости а элемент площади сечения то поток

Мы видим, что ширина h полосы в плоскости комплексного потенциала выражается через расход по формуле

Точно так же задача о течении с осевой симметрией вне тела вращения (конечно, ось тела должна совпадать

с осью симметрии течения) сводится к квазиконформному по системе (1) отображению на полуплоскость области, которая получается из полуплоскости выбрасыванием меридианного сечения тела. При этом бесконечные точки должны соответствовать друг другу и нужно задать величину скорости в бесконечности.

Хотя система (1) имеет особенность на оси вращения на нее, тем не менее, можно распространить теорему Римана о существовании и единственности отображений. В основу доказательства можно положить вариационные принципы, которые, как отмечалось в гл. III, справедливы и для квазиконформных отображений. (Заметим, что в рассматриваемых нами задачах варьировать границу надо лишь для значений где а для таких система (1) сильно эллиптична.)

Аналогично, даже с некоторыми упрощениями, связанными с тем, что вырождение системы (1) можно не учитывать, доказывается существование и единственность течения в пространственной области, заключенной между двумя соосными поверхностями вращения, меридианное сечение которой представляет собой полосу, ограниченную кривыми

Узкие трубы. Для прикидочных подсчетов и приближенного решения ряда гидродинамических задач весьма полезны приближенные выражения скорости течения в узких трубах и в узких слоях между соосными поверхностями вращения. Эти выражения получаются примерно так же, как в плоском случае. Мы остановимся на случае течений в трубах.

Зададимся малой величиной h и будем рассматривать трубы, в уравнении границы меридианного сечения которых являются величинами порядка малой высшего порядка. Можно доказать, что как и в случае конформных отображений, влияние вариации границы области на квазиконформное по системе (1) отображение сильно убывает по мере удаления от места вариации. Отсюда следует, что

формула, которую мы хотим получить, имеет локальный характер и, значит, при ее выводе можно ограничиться несколькими членами тейлоровского разложения границы области и несколькими членами разложения (5) предыдущего параграфа для отображающей функции.

Без ограничения общности можно считать, что точка, в которой мы хотим определять скорость, есть точка В ее окрестности уравнение Г имеет вид

где производные берутся в точке Так как при у нас должно быть то в разложении (5) для отображающей функции должно быть в нашем приближении мы ограничимся тремя ненулевыми членами этого разложения:

Отделяя здесь мнимые части, мы найдем с учетом выражений (4) для приближенную формулу для функции тока:

На кривой Г эта функция должна принимать постоянное значение поэтому мы подставляем сюда выражение (16) и приравниваем результаты h. Так мы находим коэффициенты:

Подставляя это в (17) и отделяя действительные части, получаем приближенное выражение для из которого по формуле

находим искомое выражение для скорости:

Заметим, что главный член формулы отвечает случаю поступательного движения в круглом цилиндре со

скоростью расход здесь равен в соответствии с формулой (15).

Аналогичным способом получается формула и для скорости движения в узких слоях между двумя соосными поверхностями вращения.

Формула (18) позволяет решить в случае осевой симметрии и некоторые задачи со свободной границей. Вот одна из таких задач, связанная с капиллярными волнами. Как известно (см., например, Ламб [1]), сила поверхностного натяжения, действующая на свободную поверхность, пропорциональна средней кривизне этой поверхности. В случае узкой трубки, удовлетворяющей условиям, в которых была выведена формула (18), максимальная и минимальная кривизны плоских сечений соответственно равны так что средняя кривизна близка Пользуясь интегралом Бернулли, мы получаем следующее дифференциальное уравнение для меридианного сечения поверхности трубки:

( — постоянные). Оно лишь членами высшего порядка отличается от уравнения (13) § 20 (гл. V) для плоских волн в тяжелой жидкости, так что мы получаем возможность провести в случае капиллярных волн такое же исследование, как в гл. V для плоских волн.