Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VI. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИОдним из наименее развитых разделов гидро- и аэродинамики является теория течений, обтекающих трехмерные тела. Особенно мало сделано в задачах с частично или полностью неизвестной границей области течения. Причиной этого является недостаточность математических методов решения таких задач вообще и отсутствие пространственного аналога метода годографа в частности. В этой главе в основном будут изучаться задачи, в том или ином смысле близкие к плоским, и для их решения привлекаться методы, развитые в предыдущих главах для плоских задач. Мы не касаемся других методов решения пространственных задач; с этими методами можно ознакомиться, например, по обзору в [8]. Начнем с класса пространственных движений, простота изучения которого определяется тем, что для его описания, как и в плоском случае, можно ограничиться двумя функциями двух действительных переменных. § 23. Движения с осевой симметриейОб уравнениях, связывающих потенциал
где х - координата вдоль оси симметрии, такие движения переносятся решения гидродинамических задач, уже разобранных в плоских постановках. Общие замечания. Для любой гармонической функции
и, значит, для каждого решения
Единственной гармонической функцией, зависящей только от
(индексы вверху указывают степень производными доказывается, что любое решение системы (1) представляется (в некоторой окрестности произвольной точки) в виде ряда
где Кроме этих элементарных решений, соответствующих положительным степеням комплексного переменного
Любое решение системы (1), правильное в бесконечности, представляется в окрестности бесконечности рядом по этим «степеням». Компоненты вектора скорости течения с осевой симметрией по осям
и из (1) видно, что векторные линии поля скоростей совпадают с линиями Рассматриваемые отображения составляют, следовательно, класс квазиконформных отображений. Система (1) представляет собой частный случай системы (15) из § 7 (гл. II), для которой коэффициенты Из формул (18) того же § 7 видно, что дифференциалы решений системы (1) преобразуют окружности Метод источников. Решения (6) имеют простой физический смысл. Вычисляя по формулам (7) вектор скорости течения, мы найдем, что для комплексного потенциала
Все векторы поля направлены к началу координат, а величина вектора убывает обратно пропорционально квадрату расстояния R до начала, следовательно, это — поле точечного источника, расположенного в начале (точнее — стока). Размещая два источника интенсивностей
Предельное образование, которое получается в результате слияния таких источников с возрастающей интенсивностью
Рис. 69. Точно так же другие «отрицательные степени» Комбинируя элементарные решения системы (1), можно получать примеры движений с осевой симметрией. Рассмотрим, например, течение с комплексным потенциалом
где
обрашается в нуль на оси Если в этом примере заменить точечный диполь системой источников интенсивностей
где
Рис. 70. Пр и мер можно обобщить, если считать, что источники размещены на произвольном множестве Е оси
а функция тока
Чтобы на участках оси х вне обтекаемого тела было
При соблюдении этого условия уравнение Можно обратить задачу — задаться формой профиля тела вращения и искать распределение источников на оси вращения так, чтобы создаваемое этими источниками течение обтекало заданное тело. Для решения такой задачи можно также воспользоваться формулой (13). На этот раз в ней нужно считать известной функцию Задачи обтекания. Одна из часто встречающихся на практике задач с осевой симметрией — это задача о течении в трубе, меридианное сечение которой представляет собой полосу Для выяснения смысла величины h вычислим поток вектора скорости через любое поперечное сечение
Мы видим, что ширина h полосы в плоскости комплексного потенциала выражается через расход
Точно так же задача о течении с осевой симметрией вне тела вращения (конечно, ось тела должна совпадать с осью симметрии течения) сводится к квазиконформному по системе (1) отображению на полуплоскость Хотя система (1) имеет особенность на оси вращения Аналогично, даже с некоторыми упрощениями, связанными с тем, что вырождение системы (1) можно не учитывать, доказывается существование и единственность течения в пространственной области, заключенной между двумя соосными поверхностями вращения, меридианное сечение которой представляет собой полосу, ограниченную кривыми Узкие трубы. Для прикидочных подсчетов и приближенного решения ряда гидродинамических задач весьма полезны приближенные выражения скорости течения в узких трубах и в узких слоях между соосными поверхностями вращения. Эти выражения получаются примерно так же, как в плоском случае. Мы остановимся на случае течений в трубах. Зададимся малой величиной h и будем рассматривать трубы, в уравнении границы меридианного сечения формула, которую мы хотим получить, имеет локальный характер и, значит, при ее выводе можно ограничиться несколькими членами тейлоровского разложения границы области и несколькими членами разложения (5) предыдущего параграфа для отображающей функции. Без ограничения общности можно считать, что точка, в которой мы хотим определять скорость, есть точка
где производные берутся в точке
Отделяя здесь мнимые части, мы найдем с учетом выражений (4) для
На кривой Г эта функция должна принимать постоянное значение
Подставляя это в (17) и отделяя действительные части, получаем приближенное выражение для
находим искомое выражение для скорости:
Заметим, что главный член формулы отвечает случаю поступательного движения в круглом цилиндре со скоростью Аналогичным способом получается формула и для скорости движения в узких слоях между двумя соосными поверхностями вращения. Формула (18) позволяет решить в случае осевой симметрии и некоторые задачи со свободной границей. Вот одна из таких задач, связанная с капиллярными волнами. Как известно (см., например, Ламб [1]), сила поверхностного натяжения, действующая на свободную поверхность, пропорциональна средней кривизне этой поверхности. В случае узкой трубки, удовлетворяющей условиям, в которых была выведена формула (18), максимальная и минимальная кривизны плоских сечений соответственно равны
(
|
1 |
Оглавление
|