§ 28. Пространственные задачи о струях

Задача о встречных струях. Решение этой задачи позволит нам в следующем параграфе объяснить некоторые явления, связанные с кумуляцией; уже поэтому она представляет большой интерес. Задача ставится так.

Требуется найти движение с осевой симметрией по следующим условиям: 1) при асимптотически струя представляет собой цилиндр радиуса ось которого совпадает с осью х, и движется со скоростью в направлении оси; при струя также представляет собой асимптотически цилиндр радиуса

и движется с той же скоростью навстречу первой струе; 3) на свободной поверхности струй давление постоянно, или — что то же самое — скорость постоянна и равна Плотности обеих струй предполагаются одинаковыми.

Рассмотрим сначала плоский вариант задачи, т. е. будем считать, что сечение на рис. 86 изображает не осевое сечение, а одно из параллельных сечений поля.

Рис. 86.

Задача, очевидно, симметрична относительно оси х, а если мы рассмотрим часть течения, лежащую выше оси х, и воспользуемся принципом обращения течения, то увидим, что эта задача совпадает с задачей о косом ударе струи о прямую, которую мы решали в начале главы. Мы видели там, что отображение плоскости комплексного потенциала на плоскость течения дается формулой

где функция находится из уравнения (3) § 27, в котором надо положить угол а наклона к оси х струи, образовавшейся после соударения, определяется из формулы

В осесимметрическом варианте столь законченного решения задачи получить не удается. Дело в том, что

в основе решения плоского варианта лежит переход к плоскости годографа где функция, обратная к комплексному потенциалу, и этот переход также представляет собой конформное отображение. Для квазиконформных отображений такой переход также возможен — это переход к производной системе (см. гл. III). По формулам (11) § И мы находим, что в данном случае производная система имеет вид

где — угол наклона скорости к оси х. К сожалению, система (3) неоднородна (в ней присутствует член, содержащий а теория квазиконформных отображений, соответствующих таким системам, еще не разработана.

Приходится ограничиваться приближенными решениями этой задачи и ее качественным исследованием. Общая качественная картина решения будет примерно такой же, как в плоском случае: после соударения струи образуют так называемую пелену, которая асимптотически приближается к некоторому круговому конусу с. осью х (на рис. 86 изображено сечение любой плоскостью, проходящей через ось вращения). В отличие от плоского случая, где ширина струи после соударения асимптотически приближалась к толщина пелены стремится к нулю по мере удаления от оси вращения.

Наиболее важными элементами расчета являются угол а образующей асимптотического конуса с осью х и закон убывания толщины пелены Эти величины можно подсчитать из физических соображений. Так как жидкость несжимаема и в струях нет источников и стоков, то сумма потоков вектора скорости через поперечные сечения струй (которая стремится к если сечения удаляются по оси должна быть равна потоку этого вектора через поперечное сечение пелены (который для больших равен примерно Отсюда мы получаем с точностью до малых высших порядков, что

Для нахождения угла а, как и в плоском случае, можно воспользоваться законом сохранения количества движения: проекции количества движения на ось х до соударения и после него должны быть одинаковыми. Рассмотрим два элемента струй, которые представляют собой цилиндрики высотой 1 вблизи точки их суммарное количество движения равно если плотность равна 1, что мы и предполагаем. После соударения, когда эти элементы будут уже находиться вблизи асимптотического конуса, проекция их суммарного количества движения на ось х будет примерно равна Отсюда

Задача о вихрях. В осесимметрическом варианте можно рассматривать также задачи, связанные с образованием вихрей в неограниченных потоках или струях. Заметим сразу, что в отличие от плоских задач здесь за обтекаемым телом образуются не две вихревых зоны, а одна с тороидальными трубками тока (рис. 87).

Рис. 87.

Вот одна из постановок таких задач. Ищется движение, для которого ось х является осью симметрии. Движение распадается на две зоны: вихревую и потенциальную причем ограниченная область, для которой ось х служит осью симметрии, представляет собой дополнение имеется осесимметрическое течение с постоянной завихренностью а в такое же потенциальное течение со скоростью в бесконечности Фиксируется величина и длина а отрезка, который образуется в пересечении с осью х, а величина и общая граница зон подбираются из условия непрерывности поля скоростей во всем пространстве.

Выпишем уравнения этой задачи. Если обозначить через составляющие вектора скорости по оси х и радиальную, то одно из уравнений — условие отсутствия источников — запишется одинаковым образом для обеих зон

а второе, связанное с вихрями, будет иметь вид

Если, как и выше, ввести функцию тока такую, что то эта функция будет удовлетворять уравнению

где области

Точное решение задачи столь же трудно, как и в плоском случае. Однако, как и там, можно строить ее приближенные решения, например, основанные на формулах для скорости в узких слоях. В том же круге идей можно получать приближенные решения задач обтекания осесимметрических тел потоками с осевой симметрией в предположении, что за телом образуются вихревые зоны.

Вращение жидкости в сосуде. К числу классических проблем гидродинамики принадлежит проблема расчета истечения жидкости из цилиндрического сосуда через круглое отверстие на его дне. Экспериментально известно, что при таком истечении поток, казавшийся в начале покоящимся, приобретает в зоне стока, кроме естественной радиальной скорости, также значительную вращательную скорость. (Резкое увеличение скорости вращения каждый наблюдал, скажем, при спуске воды из ванны.)

Такое вращательное движение жидкости пытались объяснить вращением Земли или случайным начальным вращением. Однако расчеты в схеме идеальной жидкости не давали числового совпадения с экспериментом.

Наиболее явное расхождение теории и, опыта проявляется в следующем факте: при истечении жидкости из отверстия в дне вращающегося цилиндрического сосуда (рис. 88) суммарный момент количества движения жидкости (отнесенный к ее массе) относительно вертикальной оси сосуда увеличивается со временем. Этот факт легко проверяется экспериментально: надо раскрутить цилиндрический сосуд с жидкостью до определенной (малой) угловой скорости, затем открыть сток в центре дна и замерить суммарный момент количества движения жидкости, отнесенный к ее массе.

Рис. 88.

Следствием этого является такой, на первый взгляд неожиданный, эффект. Пусть сосуд с жидкостью, о котором только что говорилось, укреплен на подшипниках так, что он может свободно вращаться вокруг своей оси. Если раскрутить его до некоторой угловой скорости, а потом снять крутящие усилия и одновременно открыть сток на дне, то скорость вращения цилиндра начнет возрастать!

По-видимому, объяснение этого эффекта следует искать в вязкости. В схеме идеальной жидкости истечение привело бы к резкому увеличению угловой скорости жидких колец малого радиуса, близких к оси вращения. По мере удаления от оси прирост угловой скорости вследствие истечения быстро затухал бы, и на скорости вращения самого сосуда истечение жидкости не сказалось бы. Но под влиянием вязкости различие в угловых скоростях жидких колец разных радиусов будет выравниваться — скорость колец, близких к оси, уменьшится, но зато скорость периферийных колец возрастет. Последнее, в силу граничных условий прилипания, приведет к увеличению скорости вращения всего сосуда.

Следуя описанной схеме, можно попытаться сделать и приближенный количественный расчет. Для этого нужно представить, что жидкость состоит из некоторого количества цилиндрических слоев, в каждом из которых

она движется с постоянным завихрением причем учет вязкости приводит к определенным соотношениям между во всем цилиндре поле скоростей жидкости считается непрерывным. Возникает задача о склейке типа тех, которые рассматривались в гл. V. Для ее решения можно организовать машинный счет.

Близка к рассмотренной следующая задача. Пусть цилиндр, наполненный жидкостью, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси и в него вставлен неподвижный стержень, ось которого совпадает с осью цилиндра. Если вязкость жидкости невелика, то ее свободная поверхность будет близка к параболоиду вращения так, как если бы стержня не было (рис. 89, а). Если же вязкость значительна, то жидкость оказывается более поднятой в центре, чем на границе цилиндра (рис. 89, б).

Рис. 89.

Опыт можно видоизменить: цилиндр с вязкой жидкостью оставить неподвижным, а круглый стержень, вставленный в жидкость по оси цилиндра, вращать — жидкость поползет по стержню вверх.

Качественное объяснение явления таково. В отсутствии вязкости при установившемся движении все скорости перпендикулярны к оси цилиндра; поле скоростей и распределение давлений в жидкости нетрудно рассчитать. Наличие вязкости, как и в предыдущей задаче, приводит к увеличению скоростей и избыточному давлению вблизи оси цилиндра — это давление и объясняет появление составляющих скоростей, параллельных оси цилиндра и направленных к свободной поверхности жидкости.

Примерно такими же соображениями объясняются еще два явления. Первое из них впервые отмечено А. Эйнштейном — если чай в стакане раскрутить ложкой, то чаинки соберутся в центре стакана. Второе явление наблюдается в реках с быстрым течением.

У берега возле вогнутых мест русла реки скорости имеют заметную составляющую, направленную вниз: течение в таких местах затягивает плавающие тела на глубину и переносит грунт со дна реки на противоположный берег.

Пространственные задачи. Рассмотрим еще несколько существенно пространственных задач (без осевой симметрии), для которых ограничимся качественным объяснением явлений. Количественный (приближенный) расчет, с ними связанный, также можно организовать, но он достаточно сложен и требует предварительных исследований.

Рис. 90.

В плоской постановке эти задачи уже рассматривались.

Удар струи о плоскость. Пусть в бесконечности струя представляет собой цилиндр радиуса ось которого лежит в плоскости и составляет угол а с отрицательной осью х. Эта струя должна обтекать плоскость на свободной поверхности Г (рис. 90) величина скорости должна быть постоянной, скажем, равна 1.

Для качественного решения задачи примем в первом приближении, что вне круга где линии тока представляют собой лучи, выходящие из оси а скорость близка к 1. Высоту свободной поверхности над окружностью где будем считать линейно зависящей от х, пусть Чтобы вычислить постоянные а и воспользуемся условиями постоянства расхода и теоремой о количестве движения.

Расход в струе для больших равен а над окружностью он равен отсюда

Проекция на ось х количества движения массы жидкости в цилиндрике высотой 1 в струе при больших равна (плотность мы считаем равной 1). Эта масса с течением времени будет занимать объем, который высекают из цилиндрического слоя плоскость и свободная поверхность, а проекция на ось х соответствующего количества движения равна

Приравнивая полученные выражения, мы найдем и, следовательно, Таким образом,

(конечно, мы должны еще считать чтобы было

Удар струи о выпуклое тело. Если струя достаточно тонка, то, как и в плоском случае, мы можем считать, что в окрестностях точки удара струи о поверхность тела и точки отхода струи от поверхности течение примерно такое же, как в случае удара струи о плоскость. Вне этих окрестностей можно считать, что струи имеют осевую симметрию. В частности, сюда входит задача об ударе струи о шар. Если дополнительно учесть влияние вязкости, то по тем же соображениям, что и в плоском случае (см, стр. 241), в этой задаче нужно считать, что точка отхода струи от сферы должна находиться на одном диаметре с точкой удара. Пользуясь этим, можно объяснить устойчивость шара в струе и в пространственной постановке.

Удар струи о цилиндр. В этой задаче имеется специфическая особенность — при срыве с цилиндра со стороны, противоположной месту удара струи, будет образовываться не струя, а жидкий слой. Начало решения этой задачи такое же, как в случае удара о шар, но после удара надо рассмотреть движение слоя воды по поверхности цилиндра. Если принять, что ось струи ортогональна поверхности цилиндра, то можно провести приближенный расчет, и мы получим распределение линий тока на поверхности цилиндра вблизи места удара, изображенное на рис. 91, а. На рис. 91, б изображено распределение толщины сходящей с цилиндра пелены.

Описанную схему можно уточнить, если вблизи отрыва потока от цилиндра ввести вихревые зоны, как в плоском случае.

Рис. 91.

Представляет интерес рассмотреть также случай, когда диаметр струи соизмерим с диаметром цилиндра, а ось струи не пересекается с осью цилиндра. Решение этой задачи дало бы полное объяснение эффекта Гольдштика, описанного выше в плоской постановке.

Выбивание пробки из бутылки. Много десятков лет известен прием выбивания пробки из бутылки, частично наполненной жидкостью. Пробка выбивается ударом ладони по дну бутылки. В чем механизм этого эффекта?

Опыты показывают, что эффект проявляется, если ось бутылки наклонена, а удар направлен по этой оси. Качественно явление довольно понятно — при ударе в бутылке создается «ударное» ускорение, свободная поверхность жидкости получает угловую скорость и в результате часть жидкости, расположенная ближе к нижней стороне поверхности бутылки, получает скорость в сторону, пробки. Эффект удара о пробку усиливается суживающимся горлышком бутылки.

Эффект проявляется также, если жидкость в бутылке предварительно резко встряхнуть так, чтобы в ней образовалось много пузырьков воздуха (аэрация). Упругие силы, возникающие в пузырьках, действуют подобно сжатой пружине, они и создают струю, выбивающую пробку.

В следующем параграфе мы увидим, что аналогичные явления лежат в основе весьма важных технических эффектов.